Coursera吴恩达《卷积神经网络》课程笔记（1）-- 卷积神经网络基础
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《Convolutional Neural Networks》是Andrw Ng深度学习专项课程中的第四门课。这门课主要介绍卷积神经网络（CNN）的基本概念、模型和具体应用。该门课共有4周课时，所以我将分成4次笔记来总结，这是第一节笔记。
###1. Computer Vision
机器视觉（Computer Vision）是深度学习应用的主要方向之一。一般的CV问题包括以下三类：
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Image Classification
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Object detection
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Neural Style Transfer
下图展示了一个神经风格转换（Neural Style Transfer）的例子：
使用传统神经网络处理机器视觉的一个主要问题是输入层维度很大。例如一张64x64x3的图片，神经网络输入层的维度为12288。如果图片尺寸较大，例如一张1000x1000x3的图片，神经网络输入层的维度将达到3百万，使得网络权重W非常庞大。这样会造成两个后果，一是神经网络结构复杂，数据量相对不够，容易出现过拟合；二是所需内存、计算量较大。解决这一问题的方法就是使用卷积神经网络（CNN）。
###2. Edge Detection Example
对于CV问题，我们在之前的笔记中介绍过，神经网络由浅层到深层，分别可以检测出图片的边缘特征 、局部特征（例如眼睛、鼻子等）、整体面部轮廓。
这一小节我们将介绍如何检测图片的边缘。
最常检测的图片边缘有两类：一是垂直边缘（vertical edges），二是水平边缘（horizontal edges）。
图片的边缘检测可以通过与相应滤波器进行卷积来实现。以垂直边缘检测为例，原始图片尺寸为6x6，滤波器filter尺寸为3x3，卷积后的图片尺寸为4x4，得到结果如下：
上图只显示了卷积后的第一个值和最后一个值。
顺便提一下， ∗ * ∗表示卷积操作。python中，卷积用conv_forward()表示；tensorflow中，卷积用tf.nn.conv2d()表示；keras中，卷积用Conv2D()表示。
Vertical edge detection能够检测图片的垂直方向边缘。下图对应一个垂直边缘检测的例子：
###3. More Edge Detection
图片边缘有两种渐变方式，一种是由明变暗，另一种是由暗变明。以垂直边缘检测为例，下图展示了两种方式的区别。实际应用中，这两种渐变方式并不影响边缘检测结果，可以对输出图片取绝对值操作，得到同样的结果。
垂直边缘检测和水平边缘检测的滤波器算子如下所示：
下图展示一个水平边缘检测的例子：
除了上面提到的这种简单的Vertical、Horizontal滤波器之外，还有其它常用的filters，例如Sobel filter和Scharr filter。这两种滤波器的特点是增加图片中心区域的权重。
上图展示的是垂直边缘检测算子，水平边缘检测算子只需将上图顺时针翻转90度即可。
在深度学习中，如果我们想检测图片的各种边缘特征，而不仅限于垂直边缘和水平边缘，那么filter的数值一般需要通过模型训练得到，类似于标准神经网络中的权重W一样由梯度下降算法反复迭代求得。CNN的主要目的就是计算出这些filter的数值。确定得到了这些filter后，CNN浅层网络也就实现了对图片所有边缘特征的检测。
###4. Padding
按照我们上面讲的图片卷积，如果原始图片尺寸为n x n，filter尺寸为f x f，则卷积后的图片尺寸为(n-f+1) x (n-f+1)，注意f一般为奇数。这样会带来两个问题：
-
卷积运算后，输出图片尺寸缩小
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原始图片边缘信息对输出贡献得少，输出图片丢失边缘信息
为了解决图片缩小的问题，可以使用padding方法，即把原始图片尺寸进行扩展，扩展区域补零，用p来表示每个方向扩展的宽度。
经过padding之后，原始图片尺寸为(n+2p) x (n+2p)，filter尺寸为f x f，则卷积后的图片尺寸为(n+2p-f+1) x (n+2p-f+1)。若要保证卷积前后图片尺寸不变，则p应满足：
p = f − 1 2 p=\frac{f-1}{2} p=2f−1
没有padding操作， p = 0 p=0 p=0，我们称之为“Valid convolutions”；有padding操作， p = f − 1 2 p=\frac{f-1}{2} p=2f−1，我们称之为“Same convolutions”。
###5. Strided Convolutions
Stride表示filter在原图片中水平方向和垂直方向每次的步进长度。之前我们默认stride=1。若stride=2，则表示filter每次步进长度为2，即隔一点移动一次。
我们用s表示stride长度，p表示padding长度，如果原始图片尺寸为n x n，filter尺寸为f x f，则卷积后的图片尺寸为：
⌊ n + 2 p − f s + 1 ⌋ X ⌊ n + 2 p − f s + 1 ⌋ \lfloor\frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor\ X\ \lfloor\frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor ⌊sn+2p−f+1⌋ X ⌊sn+2p−f+1⌋
上式中， ⌊ ⋯ ⌋ \lfloor\cdots\rfloor ⌊⋯⌋表示向下取整。
值得一提的是，相关系数（cross-correlations）与卷积（convolutions）之间是有区别的。实际上，真正的卷积运算会先将filter绕其中心旋转180度，然后再将旋转后的filter在原始图片上进行滑动计算。filter旋转如下所示：
比较而言，相关系数的计算过程则不会对filter进行旋转，而是直接在原始图片上进行滑动计算。
其实，目前为止我们介绍的CNN卷积实际上计算的是相关系数，而不是数学意义上的卷积。但是，为了简化计算，我们一般把CNN中的这种“相关系数”就称作卷积运算。之所以可以这么等效，是因为滤波器算子一般是水平或垂直对称的，180度旋转影响不大；而且最终滤波器算子需要通过CNN网络梯度下降算法计算得到，旋转部分可以看作是包含在CNN模型算法中。总的来说，忽略旋转运算可以大大提高CNN网络运算速度，而且不影响模型性能。
卷积运算服从结合律：
( A ∗ B ) ∗ C = A ∗ ( B ∗ C ) (A*B)*C=A*(B*C) (A∗B)∗C=A∗(B∗C)
###6. Convolutions Over Volume
对于3通道的RGB图片，其对应的滤波器算子同样也是3通道的。例如一个图片是6 x 6 x 3，分别表示图片的高度（height）、宽度（weight）和通道（#channel）。
3通道图片的卷积运算与单通道图片的卷积运算基本一致。过程是将每个单通道（R，G，B）与对应的filter进行卷积运算求和，然后再将3通道的和相加，得到输出图片的一个像素值。
不同通道的滤波算子可以不相同。例如R通道filter实现垂直边缘检测，G和B通道不进行边缘检测，全部置零，或者将R，G，B三通道filter全部设置为水平边缘检测。
为了进行多个卷积运算，实现更多边缘检测，可以增加更多的滤波器组。例如设置第一个滤波器组实现垂直边缘检测，第二个滤波器组实现水平边缘检测。这样，不同滤波器组卷积得到不同的输出，个数由滤波器组决定。
若输入图片的尺寸为n x n x n c n_c nc，filter尺寸为f x f x n c n_c nc，则卷积后的图片尺寸为(n-f+1) x (n-f+1) x n c ′ n_c' nc′。其中， n c n_c nc为图片通道数目， n c ′ n_c' nc′为滤波器组个数。
###7. One Layer of a Convolutional Network
卷积神经网络的单层结构如下所示：
相比之前的卷积过程，CNN的单层结构多了激活函数ReLU和偏移量b。整个过程与标准的神经网络单层结构非常类似：
Z [ l ] = W [ l ] A [ l − 1 ] + b Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]}+b Z[l]=W[l]A[l−1]+b
A [ l ] = g [ l ] ( Z [ l ] ) A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]}) A[l]=g[l](Z[l])
卷积运算对应着上式中的乘积运算，滤波器组数值对应着权重 W [ l ] W^{[l]} W[l]，所选的激活函数为ReLU。
我们来计算一下上图中参数的数目：每个滤波器组有3x3x3=27个参数，还有1个偏移量b，则每个滤波器组有27+1=28个参数，两个滤波器组总共包含28x2=56个参数。我们发现，选定滤波器组后，参数数目与输入图片尺寸无关。所以，就不存在由于图片尺寸过大，造成参数过多的情况。例如一张1000x1000x3的图片，标准神经网络输入层的维度将达到3百万，而在CNN中，参数数目只由滤波器组决定，数目相对来说要少得多，这是CNN的优势之一。
最后，我们总结一下CNN单层结构的所有标记符号，设层数为 l l l。
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f [ l ] f^{[l]} f[l] = filter size
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p [ l ] p^{[l]} p[l] = padding
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s [ l ] s^{[l]} s[l] = stride
-
n c [ l ] n_c^{[l]} nc[l] = number of filters
输入维度为： n H [ l − 1 ] n_H^{[l-1]} nH[l−1] x n W [ l − 1 ] n_W^{[l-1]} nW[l−1] x n c [ l − 1 ] n_c^{[l-1]} nc[l−1]
每个滤波器组维度为： f [ l ] f^{[l]} f[l] x f [ l ] f^{[l]} f[l] x n c [ l − 1 ] n_c^{[l-1]} nc[l−1]
权重维度为： f [ l ] f^{[l]} f[l] x f [ l ] f^{[l]} f[l] x n c [ l − 1 ] n_c^{[l-1]} nc[l−1] x n c [ l ] n_c^{[l]} nc[l]
偏置维度为：1 x 1 x 1 x n c [ l ] n_c^{[l]} nc[l]
输出维度为： n H [ l ] n_H^{[l]} nH[l] x n W [ l ] n_W^{[l]} nW[l] x n c [ l ] n_c^{[l]} nc[l]
其中，
n H [ l ] = ⌊ n H [ l − 1 ] + 2 p [ l ] − f [ l ] s [ l ] + 1 ⌋ n_H^{[l]}=\lfloor \frac{n_H^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1 \rfloor nH[l]=⌊s[l]nH[l−1]+2p[l]−f[l]+1⌋
n W [ l ] = ⌊ n W [ l − 1 ] + 2 p [ l ] − f [ l ] s [ l ] + 1 ⌋ n_W^{[l]}=\lfloor \frac{n_W^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1 \rfloor nW[l]=⌊s[l]nW[l−1]+2p[l]−f[l]+1⌋
如果有m个样本，进行向量化运算，相应的输出维度为：m x n H [ l ] n_H^{[l]} nH[l] x n W [ l ] n_W^{[l]} nW[l] x n c [ l ] n_c^{[l]} nc[l]
###8. Simple Convolutional Network Example
下面介绍一个简单的CNN网络模型：
该CNN模型各层结构如上图所示。需要注意的是， a [ 3 ] a^{[3]} a[3]的维度是7 x 7 x 40，将 a [ 3 ] a^{[3]} a[3]排列成1列，维度为1960 x 1，然后连接最后一级输出层。输出层可以是一个神经元，即二元分类（logistic）；也可以是多个神经元，即多元分类（softmax）。最后得到预测输出 y ^ \hat y y^。
值得一提的是，随着CNN层数增加， n H [ l ] n_H^{[l]} nH[l]和 n W [ l ] n_W^{[l]} nW[l]一般逐渐减小，而 n c [ l ] n_c^{[l]} nc[l]一般逐渐增大。
CNN有三种类型的layer：
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Convolution层（CONV）
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Pooling层（POOL）
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Fully connected层（FC）
CONV最为常见也最重要，关于POOL和FC我们之后再介绍。
###9. Pooling Layers
Pooling layers是CNN中用来减小尺寸，提高运算速度的，同样能减小noise影响，让各特征更具有健壮性。
Pooling layers的做法比convolution layers简单许多，没有卷积运算，仅仅是在滤波器算子滑动区域内取最大值，即max pooling，这是最常用的做法。注意，超参数p很少在pooling layers中使用。
Max pooling的好处是只保留区域内的最大值（特征），忽略其它值，降低noise影响，提高模型健壮性。而且，max pooling需要的超参数仅为滤波器尺寸f和滤波器步进长度s，没有其他参数需要模型训练得到，计算量很小。
如果是多个通道，那么就每个通道单独进行max pooling操作。
除了max pooling之外，还有一种做法：average pooling。顾名思义，average pooling就是在滤波器算子滑动区域计算平均值。
实际应用中，max pooling比average pooling更为常用。
###10. CNN Example
下面介绍一个简单的数字识别的CNN例子：
图中，CON层后面紧接一个POOL层，CONV1和POOL1构成第一层，CONV2和POOL2构成第二层。特别注意的是FC3和FC4为全连接层FC，它跟标准的神经网络结构一致。最后的输出层（softmax）由10个神经元构成。
整个网络各层的尺寸和参数如下表格所示：
###11. Why Convolutions
相比标准神经网络，CNN的优势之一就是参数数目要少得多。参数数目少的原因有两个：
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参数共享：一个特征检测器（例如垂直边缘检测）对图片某块区域有用，同时也可能作用在图片其它区域。
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连接的稀疏性：因为滤波器算子尺寸限制，每一层的每个输出只与输入部分区域内有关。
除此之外，由于CNN参数数目较小，所需的训练样本就相对较少，从而一定程度上不容易发生过拟合现象。而且，CNN比较擅长捕捉区域位置偏移。也就是说CNN进行物体检测时，不太受物体所处图片位置的影响，增加检测的准确性和系统的健壮性。
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