白话数据结构和算法02：3分钟搞明白，什么是大O时间复杂度，如何计算大O时间复杂度

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前文总结中说到：数据结构和算法主要是解决如何低成本（少存储空间&少查找、写入时间）的操作数据的问题，也就是要在能解决问题的前提下，“少空间”和“少时间”的解决问题。那么如何比较不同方法的优劣，也就是如何比较不同方法使用空间的大小和运行时间的长短呢？常用方法有两种：事后统计法和事前估算法。

事后统计法

所谓事后统计法，就是运行算法后，统计算法执行的时间和使用的内存空间。这种方法有时候也是可用的，但存在以下缺点：

• 需要先编写不同的算法，然后统计比对，浪费开发人力和时间成本

• 算法依赖的运行环境以及环境的状态，可能会影响到算法的效果

• 测试数据准备不当，比如量太小，高效率算法的效果可能体现不出来

• …

事前估算法

由于上边所述“事后统计法”的缺点，所以需要有个不需要执行代码，甚至不需要编写代码（使用伪代码），也不用准备测试数据，就可以事前粗略估算的方法。而算法的优劣，主要是从所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。
时间维度：指执行当前算法所消耗的时间，通常用「时间复杂度」来描述。
空间维度：指执行当前算法需要占用的内存空间，通常用「空间复杂度」来描述。
所以，这种事前估算法就是是下边所要说的，时间复杂度、空间复杂度估算法。

时间复杂度

站在CPU的角度看，算法的每段代码都执行在"取数-计算-写数"的操作，虽然每个操作的具体执行时间不尽相同，但为了方便估计，我们假设每行代码的执行时间都是一样的，在此假设下，算法的执行总时间就和执行代码的行数成正比了。那么，如何计算执行代码的行数呢?

​执行行数计算方法

示例1：计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：

算法1

1    public int getSum1(int n ){
2        int sum=0;
3        for (int i = 1; i < n ; i++) {
4            sum += i;
5        }
6        return  sum;
7    }

算法2

1    public int getSum2(int n ){
2        int sum = (1+n)*n/2;
3        return  sum;
4    }

如上，两种算法都可以达到求1-100所有数字之和的目的，但两种算法执行的代码行数是不同的。算法1编写代码一共7行，但是因为3、4、5因为循环的原因会执行n遍，所以执行代码行数一共是4+3n。算法2编写代码一共4行，并且是顺序没有循环的执行，所以执行代码行数和方法参数n没有关系，一共是4行。从该例中可以总结如下计算方法：

1. 非循环、分支情况：使用加法，即将顺序代码行数和分支执行相关代码行数加和

2. 循环情况：使用乘法，执行行数一般和数据量n有关系，即将数据量n和循环内的执行代码行数相乘（多层循环，累乘）

大O复杂度表示法

从示例1可以看出，执行代码行数与数据量n存在某个关系函数，比如叫做执行行数公式，此时算法1执行行数公式是：f(n)=4+3n，算法2执行行数公式是：f(n)=4。而算法执行时间和执行代码行数成正比，大家一般习惯使用下边公式表达，也就是大O复杂度表示法：

T(n)=O( f(n) )

• n 表示数据的大小

• T(n) 表示算法执行的时间

• f(n) 表示算法执行代码的行数

• O表示 T(n) 与 f(n) 存在正比关系

其实，大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。比如在算法中n很大时，10万、1亿等，执行行数公式中的 常数、低阶、系数三部分对“增长趋势”的影响很小，甚至都可以忽略，而只需要记录一个最大量级就可以了。

大O时间复杂度计算方法

如上所述，常数、低阶、系数三部分对“增长趋势”的影响可以忽略，而只保留最高项，所以计算方法如下（以含2阶的为例）：

1. 用常数 1 代公式中的常数项
   =>

2. 只保留最高阶项
    =>

3. 去除最高阶项的系数
   => =>

所以，用大 O 表示法表示示例1中算法复杂度的话，算法1：O(n)，算法2：O(1)。

 

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