最短路径算法：Bellman-ford算法

最短路径问题

在图结构中，求解最短路径问题有多种算法，Bellman-Ford是其中之一，它可以处理含有负权边的情况，同样是单源最短路径算法，而之前讲到的Dijkstra算法不能处理含有负权边的情况。对应的代价就是其算法时间复杂度要高一些。后面我们会分析。

这里能处理负权边是针对有向图的，因为对无向图来说，含有负权边就意味着含有负权回路，在有负权回路的这种情况下求最短路径是无解的，因为每经过一次负权回路，距离都会减少，就会无限循环下去。

在继续往下讲之前，先补充一个图最短路径的一个性质：最短路径的子路径也是最短路径，数学描述如下：有向图$G=(V,E)$，设$p=(v_0,v_1,...,v_k)$为从点$v_0$到点$v_k$的一条最短路径，且$0\le i\le j\le k$，设$p_{ij}=(v_i,v_{i+1},...,v_j)$为路径$p$中从点$v_i$到点$v_j$的子路径，那么$p_{ij}$也是这两点之间的一条最短路径。可用反证法来证明：

证明：如果将路径$p$分解为$v_0-v_i-v_j-vk$，则有$w(p)=w(p_{0i})+w(p_{ij})+w(p_{jk})$。假设存在一条从$v_i$到$v_j$的一条更短的路径$p_{ij}^{\prime }$，$w(p_{ij}^{\prime }<w(p_{i}j))$。则新路径权值为$w(p_{0i})+w(p_{ij}^{\prime })+w(p_{jk})<w(p)$，这与$p$是最短路径相矛盾。

Bellman-Ford算法

与Dijkstra算法类似，Bellman-Ford算法也是通过不断的“松弛”操作来求得最终解。“松弛”就是如下的操作过程：$w(u,v)$表示$u$与$v$之间的权值，$d[v]$表示从源点$s$到顶点$v$的距离，若存在边$e(u,v)$，使得：$d[v]>d[u]+w(u,v)$(即发现了优于当前的路径),则更新$d[v]=d[u]+w(u,v)$，并更新路径$prev[v]=u$。可以看到每一次“松弛”都会更逼近最优解。Dijkstra算法通过优先队列每次选择当前未被处理过的距离最小的顶点，对该顶点未被处理过的边进行松弛。而Bellman-Ford算法则简单的松弛所有的边，反复执行$|V|-1$次（$|V|$为顶点的的个数），时间复杂度$O(|V||E|)$。可以看出，Bellman-Ford松弛的次数远多于Dijkstra，所以其时间复杂度相比Dijkstra要高。

伪代码如下：

function BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
    // step 1 初始化, dist[v]表示源节点到顶点v的距离值，prev[v]表示顶点v的前驱顶点
    for each vertex v in vertices
        dist[v] = inf
        prev[v] = null

    dist[source] = 0

    // step 2 迭代松弛|V|-1次
    for i from 1 to size(vertices) -1 
        for each edge(u,v) with weight(u,v)  in edges
            if dist[u] + weight(u,v) < dist[v]
                dist[v] = dist[u] + weight(u,v)
                prev[v] = u
    
    // step 3 检查是否有负权回路
    for each edge(u,v) with weight(u,v) in edges
        if dist[u] + weight(u,v) < dist[v]
            error "检测到负权回路"

    return dist[], prev[]

对算法的优化： 在实际应用中，Bellman-Ford算法其实不用迭代松弛$|V|-1$次，理论上图中存在的最大的路径长度为$|V|-1$，实际上往往要小于这个$|V|-1$，即，在$|V|-1$次迭代松弛之前就已经收敛了，计算出最短路径了，所以可在循环中设置判定，在某次循环中不再进行松弛时，表明当前已收敛，可退出步骤2，进行下一步检查是否有负权回路。

怎么理解这个算法呢？ 假设某顶点与源顶点没有连通，即没有边，那么这个点就不会被松弛，距离不会被更新，依旧为无穷大。如果顶点与源顶点是连通的，在不存在负权回路的情况下，一定存在一条最短路径，这条最短路径$p=(v_0,v_1,...,v_k)$为源点$s$到$v$之间的任意一条最短路径(这里$v_0=s$，$v_k=v$)。最大会有多少条边呢？假设图有$|V|$个顶点，那么有$k\le |V|-1$。在进行第一轮松弛时，被松弛的边中一定会包含边$(v_0,v_1)$，结合文章开头讲到的最短路径的子路径也一定是最短路径的性质，$v_1$已经得到了其最短路径，在第二轮松弛过程中，被松弛的边中一定会包含$边(v_1,v_2)$，经过此次松弛后，$v_2$也已经得到了其最短路径。以此类推，在第$k$轮松弛中，被松弛的边中一定包含了边$(v_{k-1},v_k)$，之后$v_k$也得到其最短路径。也就是说，凡是与源顶点最短路径经过的边数为$k$的顶点，在第$k$轮松弛时一定会被确认（最短路径被找到）。所以，我们需要松弛多少轮呢，最多$|V|-1$次就可以了。

算法的数学证明可以参考《图论》或《算法导论》中的证明过程。

代码实现见bellman_ford.cpp。最后再分析一下时间复杂度，最坏的情况$O(|V||E|)$，这个比较好理解，最好的情况$O(|E|)$，一次松弛所有边的操作就可以了，对应的就是边松弛的顺序恰好是最短路径树的生成顺序。

算法的应用

其中一个应用就是路由协议了（距离向量协议），对此实现了一个路由协议测试工程，代码见router。实现了一个通过路由表的方式进行的路由算法。