数据结构笔记系列——算法及算法时间复杂度

算法定义：是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的五个基本特征：输入、输出、有穷性、确定性、可行性。

1. 输入：0个或多个输入。

2. 输出：至少一个或多个。算法一定有输出，可以是打印输出，也可以是返回一个或多个值等。

3. 有穷性：每一个步骤在可接受的时间内完成，在执行有限步骤后，自动结束而不出现无限循环。

4. 确定性：算法的每一个步骤都有确定的含义，不会出现二义性。

5. 可行性：算法的每一步都是可行的，即每一步骤都能够通过有限次数完成。

算法设计的要求：正确性、可读性、健壮性(当输入数据不合法时，算法能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果)、时间效率高、存储量低。

算法的时间效率：

>>对于分支结构，无论真假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变化而变换，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度是O(1)。

下面这段代码的时间复杂度是O(1)。代码执行次数和n的大小无关。

int sum = 0, n = 100;
sum = (1 + n) * n / 2;
printf("%d", sum);

>>分析算法的复杂度，关键是分析循环结构的运行情况。

下面这段代码的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码执行n次。

int i;
for(i = 0; i < n; i++)
{
    printf(i);             /* 执行n次 */
}

下面这段代码的时间复杂度为O(logn)。计算多少个2相乘后会达到n，也就是计算2^x=n，得x=log2n。

int count = 1;
while (count < n)
{
    count = count * 2;    
}

下面这段代码的时间复杂度为O(n^2)。内层循环的时间复杂度是O(n)，外层循环是让内层循环再执行n次，因此整段代码的时间复杂度是O(n^2)。

int i,j;
for(i = 0; i < n; i++)
{
    for(j = 0; j < n, j++)
    {
        printf(j);
    }
}

下面这段代码的时间复杂度也是O(n^2)。当i = 0时，内层循环执行了n次，当i = 1时，内层循环执行了n-1次，...，当i = n-1时，内层循环执行了1次，所以总的执行次数为 n+(n-1)+(n-2)+...+1=0.5n^2+0.5n，得到O(n^2)。

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++)
{
    for(j = i; j < n; j++)    /* 注意是 j = i */
    {
        printf(j);
    }
}

常见的时间复杂度表

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n^2+2n+1	O(n^2)	平方阶
5log2n+20	O(logn)	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlog阶
6n^3+2n^2+3n+4	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1)n)n)nlogn)n^2)n^3)n)n!)n^n)