最小生成树-(贪心思想)

1、问题描述


     设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。


     网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。 


     2、MST性质


     设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)属于E，且u属于U，v属于（V-U），且在所有这样的边中，(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质有时也称为MST性质。 


  MST性质的证明：如图所示，假设G的任何一颗最小生成树都不包含边(u,v)。将边(u,v)添加到G的一颗最小生成树T上，将产生含有边(u,v)的圈，并且在这个圈上有一条不同于(u,v)的边(u',v')，使得u'属于U，v’属于（V-U）。将边(u',v')删去，得到G的另一颗生成树T'。由于c[u][v]<=c[u'][v']，所以T'的耗费<=T的耗费。于是T'是一颗含有边(u,v)的最小生成树，这与假设矛盾。

最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)0)   则在G_min中存在不属于G₀

3).将加入G₀中可得一个环，且不是该环的最长边(这是因为∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

 4.算法代码实现

#include
using namespace std;
const int MAXN = 105;
#define INF 999999
int map[MAXN][MAXN],n;
void printtree(int tree[])//输出函数。
{
	cout << "Edge" << '\t' << "Weight" << endl;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		cout << tree[i] << "-" << i << '\t' << map[i][tree[i]] << endl;
	}
}
int minkey(int key[], bool vis[])
{
	int min = INF, min_index;//初始化代价为无穷，定义最小代价的结点的位置。
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (!vis[i] && key[i] < min)
		{
			min = key[i]; min_index = i;
		}
	}
	return min_index;
}
void Prim()
{
	int tree[MAXN];//表示树当前情况；
	int key[MAXN];//表示树的代价；
	bool vis[MAXN];//表示树的状态；
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		key[i] = INF;
		vis[i] = false;
	}
	key[0] = 0;
	tree[0] = -1;//第一个为树根。
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)//连接V个点，只需要V-1条边。
	{
		int u = minkey(key, vis);//找出代价最小且未被访问过得结点。
		vis[u] = true;//标记已访问。
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			if (map[u][j] && vis[j] == false && map[u][j] < key[j])
			{
				tree[j] = u, key[j] = map[u][j];
			}
		}
	}
	printtree(tree);
}
int main()
{
	cout << "请输入表格，表示各点到其他点的代价" << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			cin >> map[i][j];
		}
	}
	Prim();
	return 0;
}

5.时间复杂度

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v²)                 邻接表:O(elog₂v)

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new中

 

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

 

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

 

 

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)})。显然T应该包含，否则，可以用加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{}，是G'的生成树。所以W(T-{})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W()=W(T'+{})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN = 105;
struct Node
{
	int u;
	int v;
	int w;
};
Node E[MAXN * 2]; //存放所有的边   
bool cmp(Node a, Node b)
{
	return a.w < b.w;
}
int map[MAXN][MAXN],n,vset[MAXN];
//保存各点的关系的矩阵，顶点数，判断是否在同一个集合
int find(int x)//判断是否在同一个集合
{
	if (vset[x] == -1)
	{
		return x;
	}
	return vset[x] = find(vset[x]);
}
void kruskal()
{                                       
	int k = 0;                 //E数组的下标从0开始   
	for (int i = 0; i> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			cin >> map[i][j];
		}
	}
	kruskal();
	system("pause");
	return 0;
}

时间复杂度：elog ₂ e  e为图中的边数

文章理论部分来自：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html