快速傅里叶变换(FFT)后的点的物理含义

基础知识点：

1.  信号频率，F
2.  采用频率, Fs
3.  采用频率必须是信号频率的2倍及以上，才能保证采到的信号没有失真

物理含义：

采样获取到数字信号后，就可以对其做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，可以得到N个点的FFT结果，这N个点是以复数形式存储的。为了有利于蝶形变换运算，通常N取2的整数次方。

每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的振幅特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？

    假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

FFT后的N点，具有以下几个物理含义：
1' 第一个点表示0HZ，第N+1个点表示采样频率Fs(N+1个点不存在)，从第1个点到N个点，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N
2' FFT能分辨的频率是：Fs/N，列如，Fs=50，采样1秒钟，进行FFT，那么FFT所识别的频率是1HZ，同样是Fs=50，采样两秒钟后进行FFT，那么FFT的分辨率就是0.5HZ. 因此如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。

3' 由于采样频率是数字信号频率的两倍及以上，所以我们只需要前N/2个结果即可，从FFT的特性上来看，FFT后N个点是对称的，所以也只需要查看前N/2个结果.

下面是Python的程序：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import freqz
from scipy.fftpack import fft,ifft 
fs=200.0;#采用频率
f1=50.0;#信号1的频率
f2=90.0;#信号2的频率
f3=75.0;#信号3的频率
#nsamples = 1 * fs;#采样时间
t =np.array( [c/200.0 for c in range(0,200)]);
x = 1 * np.cos(2 * np.pi * f1 * t + np.pi*30/180);#振幅为1，相位为30度，频率为50hz的cos信号
x += 0.3 * np.cos(2 * np.pi * f2 * t + .11)#振幅为0.3，相位为0.11弧度，频率为90hz的cos信号
x += 0.5 * np.cos(2 * np.pi * f3 * t)#振幅为0.5，相位为0度，频率为75hz的cos信号
fftresult=fft(x);#进行FFT运算
yf=abs(fftresult) # 取绝对值  
xf = np.arange(len(x)) # 频域
plt.figure(1)
plt.plot(xf,yf,'r')
plt.title('FFT of Mixed wave(two sides frequency range)',fontsize=7,color='#7A378B')
plt.show()

结果如下：