高斯分布期望的推导

1. 高斯概率密度函数的积分


I=+exp(12σ2x2)dx

它的平方则为:
I2=++exp(12σ2x212σ2y2)dxdy

将坐标 (x,y) 转为极坐标 (r,θ) ,则有:
x=rcos(θ)y=rsin(θ)

所以:
I2=2π00exp(r22σ2)rdrdθ=2π0exp(u2σ2)12du=π[exp(u2σ2)(2σ2)]0=2πσ2

从而我们有
+N(x|μ,σ2)dx=1

2. 高斯分布的期望

该推导来自http://math.stackexchange.com/

高斯分布的概率密度函数为:

fX(x)=1σ2πexp{(xμ)22σ2}

其中 σ>0 。根据期望的定义,我们有:
E(X)=x1σ2πexp{(xμ)22σ2}dx

根据积分原理, y=xμ
E(X)=(y+μ)1σ2πexp{y22σ2}dy=y1σ2πexp{y22σ2}dy+μ1σ2πexp{y22σ2}dy[1]

第一部分用 I1 表示:
I1=x1σ2πexp{x22σ2}dx

显然函数
f(x)=x1σ2πexp{x22σ2}

是一个奇函数(因为 f(x)=f(x) ),其对称区间的积分等于0。因此我们有
I1=0

所以我们有

E(X)=μ1σ2πexp{x22σ2}dx=μ1σ2πexp{x22σ2}dx

运用 第一节的证明 我们就有
E(x)=μ+N(x|μ=0,σ2)dx=μ

3. 高斯分布的方差

Var(X)=(xμ)21σ2πexp{(xμ)22σ2}dx

(xμ)21σ2πexp{(xμ)22σ2}dx=x21σ2πexp{x22σ2}dx

=σ2(σ2x)21σ2πexp{(σ2x)22σ2}dx=σ24π0x2ex2dx

t=x2 ,则有 dt=2xdx=2tdxdx=(2t)1dt ,带入上式:
V(X)=σ24π0(t)2(2t)1etdt=σ24π120t321etdt=σ24π12Γ(32)

V(X)=σ24π12π2=σ2

Γ() 为 伽马函数

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