叶丙成-概率-chapter4-随机变量-累积分布函数CDF-概率质量函数PMF-伯努利分布-二项分布-均匀分布

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4.1 随机变量

4.1.1 随机变量(random variable,R.V.)定义

随机变量(random variable,R.V.)定义：是一个用来把实验结果(outcome)数字化的表示方式。
存在的意义：可以让概率的推导更数学，更简明
注：随机变数通常使用大写英文字母表示

4.1.2 随机变量的本质

随机变量的本质？函数！
随机变量其实是一个函数，给$X$一个outcome，就返回一个对应的数字。数学上的表示法：$X:S\to \Re$(映射)

4.1.3 随机变量的种类

1. 离散随机变量(Discrete R.V.)
   EX1:店员的微笑：$X(笑)=1,X(不笑)=0\Rightarrow X=0,X=1$
   EX2:小美的三个司机：$X(明)=0,X(华)=1,X(圆)=2\Rightarrow X=0,X=1,X=2$
   EX3:小明告白多少次才能成功：$X(0次)=0,X(1次)=1,X(2次)=2,\cdots \Rightarrow X=0,X=1,X=2,\dots$
   注：离散随机变量并不代表只有有限多个case(可以是可数无穷多个)。
2. 连续随机变量(continuous R.V)
   EX1:幸运之轮：$X$可以说$[0,1]$之间的任意数字
   注：连续随机变量的值是有无穷多个，而且是不可数的无穷多个。
3. 什么是可数的，什么是不可数的？
   • 可数的：一个集合如果是可数的，这代表它包含的东西是可以一个个被数的，不管用什么方法数它里面的东西，它里面的任意一个东西，总是会被数到的。
     EX:正偶数集合$\{2,4,6,8,10,\dots \}$是可数的，从中随意取一个数字，总是可以数到的。
   • 不可数的：一个集合如果是不可数的，这代表它包含的东西是无法可以一个个被数的，不管用什么方法数它里面的东西，它里面一定有一样东西是你没数到的！
     EX：0到1之间的所有数字的集合是不可数的！
   • 扩展-无穷多的世界：
     - EX1:正整数的集合和正偶数的集合相比，哪个集合里面的东西比较多？答案是一样多，正整数的集合中的值乘2即可和正偶数集合产生一一对应关系。
     - EX1:“长度为1的线段上的点”与“边长为1的正方形平面上的点”，这两个集合，哪一个点的数量比较多？答案是一样多。
     - 注：在无穷多的世界里面，评价两个集合相等，不能使用“你中有我，我中有你”。而是使用是否可以找到一个方法(映射)，使两个无穷集合可以找到一个一一对应关系，如果有，两无穷集合是相等的。

4.1.4 随机变量的函数

阿宅若看到店员微笑，就会点200的套餐。如果店员不笑，他就点15的饮料。请问阿宅的消费金额$W$是随机变量嘛？
解：店员表情可以由随机变量$X$代表：$X(微笑)=0,X(不笑)=15$
$W$是$X$的函数：$W(X(微笑))=200，W(X(不笑))=15$
所以$W$也是喂outcome吐数字！因此，$W$也是一个随机变量！
注：随机变量的函数，也是个随机变量

4.2 累积分布函数(cumulative distribution function,CDF)

4.2.1 何谓CDF？

对任一个随机变量$X$，我们定义其$CDF$为
$$F_X(x)\stackrel{\text{def}}{=}P(X\le x)$$
注：含等号
EX:幸运之轮
$$F_X(0.5)=P(x\le 0.5)=\frac{1}{2}$$

4.2.2 CDF用处？

1. 最有用的用途
   计算$X$落在某范围内的概率
   EX1:如图计算$P(3<X\le 5)$的概率
   
   可以将其转化为两个$CDF$相减，
   $$P(3<X\le 5)=P(X\le 5)-P(X\le 3)$$
   EX2:对比$P(3<X\le 5)$与$P(3\le X\le 5)$区别(差一个等号):
   $$P(3\le X\le 5)=P(X\le 5)-P(X\le 3)+P(X=a)$$
2. 离散随机变量的$CDF$长什么样？(阶梯状)
   EX:$X$为骰子的点数，故$P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=\frac{1}{2}$
   解：$CDF:F_X(x)=P(X\le x)$
   • $F_X(0.3)=P(X\le 0.3)=0$
   • $F_X(1)=P(X\le 1)=P(X\le 1.3)=1$
   • $F_X(2.3)=P(X\le 2.3)=P(X\le 2.9)=2$
     
3. 连续随机变量的$CDF$长什么样？
   EX:$X$为幸运之轮所停下的数字，$x\in [0,1)$,
   解：$CDF:F_X(x)=P(X\le x)$
   • $F_X(-0.1)=P(X\le -0.1)=0$
   • $F_X(0.1)=P(0\le X\le 0.1)=0.1$
   • $F_X(0.5)=P(0\le X\le 0.5)=0.5$
   • $F_X(1)=P(0\le X\le 1)=1$
   • $F_X(1.7)=P(0\le X\le 1.7)=1$
   • $P(0.3<x\le 0.5)=F_X(0.5)-F_X(0.3)=0.5-0.3=0.2$
   • $P(0.3<x<0.5)=F_X(0.5^{-})-F_X(0.3)=0.5-0.3=0.2$
   • 注：$0.5^{-}$表示无限接近$0.5$的一个点

4.2.3 CDF的性质

1. 离散随机变量之$CDF$
   $F_X(x^{+})=F_X(x)$
   $F_X(x^{-})=F_X(x)-P(X=x)$
   注1：$x^{+}$表示比$x$大一点，但无限接近$x$的一个值(参考《数学分析》极限定义中的$ϵ$)
   注2：$x^{-}$表示比$x$小一点，但无限接近$x$的一个值
2. 连续随机变量之$CDF$
   $F_X(x^{+})=F_X(x)=F_X(x^{-})$
3. 共同性质
   $F_X(-\infty )=P(x\le -\infty )=0$
   $F_X(+\infty )=P(x\le +\infty )=1$
   $0\le F_X(x)\le 1$

4.3 概率质量函数(probability mass function,PMF)(离散随机变量特有)

4.3.1 什么是PMF

1. 对任一个整数值的离散随机变量$X$，我们定义其$PMF$为函数：
   $$p_X(x)\stackrel{\text{def}}{=}P(X=x)$$
2. EX:$X$为公平骰子之点数
   $p_X(3)=P(X=3)=\frac{1}{6}$

4.3.2 PMF与CDF的关系(离散随机变量通常只使用整数)

1. $F_X(2.5)=P(X\le 2.5)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)+P(X=-1)+\cdots ={\sum }_{n=-\infty }^{2=|2.5|}P(X=n)$
2. 对任何$x$
   $$F_X(x)=\sum _{n=-\infty }^{|x|}{P}_X(n)$$

• 注：$|x|$表示取整

3. 相互转化EX1：$PMF\to CDF$
   
   
4. 相互转化EX2：$CDF\to PMF$
   
   阶梯前后的值相减
   $P_X(x)=F_X(x^{+}-x^{-})$
   
5. 概率分布(probability Distribution)
   任何一个$PMF$或是之后介绍的$PDF$都当作是一种概率分布(将总和为1的概率分布在点上)

4.4 离散概率分布(discrete probability distributions)

丢硬币：非正即反，正面概率为0.5
阿宅告白：非成功，即失败，成功概率为0.7
出门天气：非晴天即雨天，晴天概率为0.6
相似点：1次实验，两种结果。
只在意某一种结果是否发生$\Rightarrow$Bernoulli概率分布

4.4.1 Bernoulli概率分布(伯努利分布)

1. 举例
   1. PMF:若实验成功几率为0.6，做一次实验，$X$代表成功次数。记为$X\sim Bernoulli(0.6)$
      $$p_X(x)=\{\begin{array}{rl}0.6& ,x=1,\\ 0.4& ,x=0,\\ 0& ,otherwise.\end{array}$$
   2. CDF:$F_X(x)={\sum }_{n=-\infty }^{|x|}{p}_X(x)$
      $$F_X(x)=\{\begin{array}{rl}0& ,x<0,\\ 0.4& ,0\le x<1,\\ 1& ,x\ge 1.\end{array}$$
2. 一般化
   1. PMF:若实验成功几率为$p$，做1次实验，$X$代表成功次数。记为$X\sim Bernoulli(p)$
      $$p_X(x)=\{\begin{array}{rl}p& ,x=1,\\ 1-p& ,x=0,\\ 0& ,otherwise.\end{array}$$
   2. CDF:$F_X(x)={\sum }_{n=-\infty }^{|x|}{p}_X(x)$
      $$F_X(x)=\{\begin{array}{rl}0& ,x<0,\\ 1-p& ,0\le x<1,\\ 1& ,x\ge 1.\end{array}$$

4.4.2 Binomial概率分布(二项分布)

EX1:阿宅鼓起勇气搭讪10人，若每次搭讪成功几率为0.6,10次成功8次的概率为？
EX2:艺洲五天午餐在某一餐厅就餐，若每次上菜超时的概率为0.9，5天中有3天超时的概率为？
共同点：做n次实验，同一个概率，只关注n次实验出现某结果k次之概率$\Rightarrow$Binomial概率分布

1. 举例
   1. PMF:若实验成功几率为0.6，做10次实验，$X$代表成功次数。记为$X\sim BIN(10,0.6)$
      $$p_X(8)=P(X=8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{8}\right)0.6^8(1-0.6{)}^{10-8}$$
   2. CDF:$F_X(x)={\sum }_{n=-\infty }^{|x|}{p}_X(x)$
      $$F_X(x)=\sum _{m=-\infty }^{|x|}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{m}\right)0.6^m(1-0.6{)}^{n-m}$$
2. 一般化
   1. PMF:若实验成功几率为p，做n次实验，$X$代表成功次数。记为$X\sim BIN(n,p)$
      $$p_X(x)=P(X=x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)p^x(1-p{)}^{n-x}$$
   2. CDF:$F_X(x)={\sum }_{n=-\infty }^{|x|}{p}_X(x)$
      $$F_X(x)=\sum _{m=-\infty }^{|x|}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)p^m(1-p{)}^{n-m}$$

4.4.3 Uniform概率分布(均匀分布)

EX1:丢一个公平的骰子：1-6各点出现的概率均等
EX2:混哥考试，作答A，B，C，D的概率均等
EX3:狡兔三窟，出现在三个窟的概率均等
共同点：一次实验，n种结果，个结果概率均等，关注某结果是否发生$\Rightarrow$Uniform概率分布

1. 举例

   1. PMF:如果$X$等于$3,4,5,6,7$的概率均等。记为$X\sim UNIF(3,7)$
      $$p_X(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{7-3+1}& ,x=3,4,5,6,7,\\ 0& ,otherwise.\end{array}$$

   2. CDF:$F_X(x)={\sum }_{n=-\infty }^{|x|}{p}_X(x)$

$$F_X(x)=\{\begin{array}{rl}0& ,x<3,\\ \frac{|x|-3+1}{6}& ,3\le x<8,\\ 1& ,x\ge 8.\end{array}$$

2. 一般

   1. PMF:如果$X$等于$a,a+1,\dots ,b$的概率均等。记为$X\sim UNIF(a,b)$
      $$p_X(x)=\{\begin{array}{rl}\frac{1}{b-a+1}& ,x=a,a+1,\dots ,b,\\ 0& ,otherwise.\end{array}$$

   2. CDF:$F_X(x)={\sum }_{n=-\infty }^{|x|}{p}_X(x)$

$$F_X(x)=\{\begin{array}{rl}0& ,x<a,\\ \frac{|x|-a+1}{b-a+1}& ,a\le x<b,\\ 1& ,x\ge b.\end{array}$$

4.4.4 学这些概率分布有什么用

• 很多事物背后概率模型是未知的

• 对事物的运作方式、本质清楚后，若跟某概率分布的本质相同或是接近，我们便可采用该概率分布来近似、模拟该事物的运作

• 在这近似、模拟的概率模型上，便可以开始估算各式各样事件的概率。

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• 如有不妥，请指示正，谢谢阅读！
  作者：togetlife