四元素（Quaternion）与旋转

一、四元数的含义

1、数学含义及表示方法

      三维复数域，可表示为 Q = [x, y, z,w] 或 Q = w + x*i + y*j + z*k， 其中 w 是实部，[x, y, z]是虚部，[i, j, k]是虚轴单位向量

2、物理含义

        四元数常用于表示三维空间的旋转变换，注意它表示一个变换，不是一个状态，它描述了一个旋转轴[α, β, γ]和角θ，对应的四元数为Q = [cos(θ/2), α*sin(θ/2), β*sin(θ/2), γ*sin(θ/2)]，一般我们使用右手坐标系，逆时针旋转为正。

       与其它旋转表示方法相比，例如欧拉角、矩阵，四元数并不直观，但具有以下优点：

• 四元数不存在欧拉角中的 “gimbal lock” 问题，翻译成中文叫“万向节死锁”，名字很装B有木有，其实就是当三个轴中的两个轴由于旋转重合了，导致旋转失去了一个自由度，想具体了解的，请参考欧拉角与万向节死锁（带视频的，非常形象）
• 四元数只有四个数，矩阵表示变换一般都是 4*4 的，存储计算量更小（此优点可忽略）
• 两个四元数之间更容易插值（实际应用中，什么时候需要插值）

       注意：四元素在多次运算后，会存在累计误差，需要定期归一化处理

二、四元数的基本运算及其物理意义

     1. 虚轴的性质

          i * i = -1； i * j = k(右手定责：i 转到j轴，大拇指指向的方向，如下图)；j * i = -k 

                       

     2. 模长 Length：sqrt(x * x + y * y + z * z + w * w)

     3. 归一化 Normalize：(x, y, z, w)./Length；用四元数表示旋转需要归一化处理

     4. 共轭 conjugate：(-x, -y, -z, w)，对比四元数物理含义易得：共轭表示旋转轴不变，旋转角相反

     5.  点乘Dot（q1 .* q2）：q1.x * q2.x + q1.y * q2.y + q1.z * q2.z + q1.w * q2.w

     6. 叉乘（q1 * q2）：两个四元数的各元素两两相乘，虚轴的乘法按上述第一点"虚轴的性质”处理

          叉乘的物理含义：先绕 q2 做旋转变换，再绕 q1 做旋转变化

     7. 向量 v 绕四元数旋转：q * v * conjugate(q)

三、 四元数与欧拉角、旋转矩阵之间的相互转换

       该节内容请直接参考代码（下载），此代码由虚拟现实（VR）公司Oculus 原创，包含上述四元数的基本运算，矩阵的基本运算，四元数、欧拉角、旋转矩阵之间的相互转换