整数拆分问题的四种解法

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一

 

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

 

方法一：递归法

根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

（2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

（3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

1. 划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；
2. 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

  因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

（4）当n

（5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

1. 划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；
2. 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

 因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

其递归表达式如下所示。

 

参考源码1.1（递归版本（较慢））

#include 

#define MAXNUM 100            //最高次数

//递归法求解整数划分
unsigned long GetPartitionCount(int n, int max)
{
    if(n == 1 || max == 1)
    {
        return 1;
    }
    if(n < max)
    {
        return GetPartitionCount(n, n);
    }
    if(n == max)
    {
        return 1 + GetPartitionCount(n, n - 1);
    }
    else
    {
        return GetPartitionCount(n - max, max) + GetPartitionCount(n, max - 1);
    }
}


int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    int m;
    unsigned long count;
    while(1)
    {
        scanf("%d", &n);
        if(n<=0)
            return 0;
        m=n;
        count = GetPartitionCount(n, m);
        printf("%d\n",count);
    }
    return 0;
}

 

方法二：动态规划

考虑到使用递归中，很多的子递归重复计算，这样不仅在时间开销特别大，这也是运算太慢的原因，比如算120的时候需要3秒中，计算130的时候需要27秒钟，在计算机200的时候....计算10分钟还没计算出来。。。鉴于此，可以使用动态规划的思想进行程序设计，原理如同上面一样，分成三种情况，只是使用一个数组来代替原有的递归，具体可以参看源码，源码中提供了两个版本 递归+记录版本和数组版本

2.1 递归加记录版本

此版本使用数组标记，如果之前计算过，则直接调用数组中内容，否则计算子递归，这样保证了每次计算一次，减少冗余量

源码如下：

 

/*----------------------------------------------
 *        Author    :NEWPLAN
 *        Date    :2015-04-01
 *        Email    :xxxxxxx
 *        Copyright:NEWPLAN
-----------------------------------------------*/
#include 


#define MAXNUM 100            //最高次数
unsigned  long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];
unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);

using namespace std;
int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    int m;
    unsigned long count;
	
	while(1)
	{
		cin>>n;
		cout<

 

 

 

2.2 数组标记法动态规划（从小到大）

 

考虑到计算ww[10][10]=ww[10][9]+1;所以在每次计算中都是用到之前的记录，这样就可以先从小到大计算出程序，使得计算较大数的时候调用已经计算出的较小的记录，程序直接是用循环就可以完成任务，避免了重复计算和空间栈的开销。

源码：

 

/*----------------------------------------------
 *        Author    :NEWPLAN
 *        Date    :2015-04-01
 *        Email    :xxxxxxx
 *        Copyright:NEWPLAN
-----------------------------------------------*/
#include 

#define MAXNUM 100            //最高次数

unsigned  long ww[MAXNUM*11][MAXNUM*11];
unsigned long dynamic_GetPartitionCount(int n, int max);

using namespace std;

int main(int argc, char **argv)
{
    int n;
    int m;
    unsigned long count;
	
	while(1)
	{
		cin>>n;
		cout<

 

 

三种方法效果对比十分明显，在写此博客之前测试数据200，动态规划版本输入直接算出结果，现在这片博客写完了，，，使用递归的还没计算出结果。。。

 

 

方法三：母函数

 

    下面我们从另一个角度，即“母函数”的角度来考虑这个问题。

    所谓母函数，即为关于x的一个多项式G(x)：

    有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

    则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

    我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，.....，i的个数记为ai，

    显然有：ak <= n/k（0<= k <=n）

    因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使它们的综合为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，......，k次等等。把数字i用（x^i）表示，出现k次的数字i用（x^(i*k)）表示，不出现用1表示。

    例如，数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

    则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

    G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

            = g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

            = a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

    上面的表达式中，每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此，该多项式展开后，由于x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的划分，展开后（x^i）项的系数也就是i的所有划分个数，即f(n,n) = an。

    由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x)；剩下的问题就是，我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

    为此，我们首先要做多项式乘法，对于我们来说，并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

    g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

    则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c中。

参考题目： HDU:1028：Ignatius and the Princess III

参考源码：

 

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N=10005;

int c1[N],c2[N];

int main()
{
    int n,i,j,k;
    while(cin>>n)
    {
        if(n==0) break;
        for(i=0;i<=n;i++)
        {
            c1[i]=1;
            c2[i]=0;
        }
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            for(j=0;j<=n;j++)
                for(k=0;k+j<=n;k+=i)
                    c2[k+j]+=c1[j];
            for(j=0;j<=n;j++)
            {
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        cout<

 

 

 

 

 

方法四：五边形数定理

 

设第n个五边形数为，那么，即序列为：1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ... 

对应图形如下：

 

设五边形数的生成函数为，那么有：

以上是五边形数的情况。下面是关于五边形数定理的内容：

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。 

五边形数和分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

   其中为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，有：

 

在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式：

例如n=10时，有：

所以，通过上面递归式，我们可以很快速地计算n的整数划分方案数p(n)了。

 

参考例题：

HUD4651:Partition

源码：

 

#include 

using namespace std;

#define  MYDATA long long
const MYDATA MOD=1000000007;

#define  AMS 100005
MYDATA pp[AMS];
MYDATA asist[2*AMS];
void myinit()
{
	for(int i=0;i>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
	cout<

 

附加：

 

给定一个整数n，输出这个整数拆分的可能形式（即输出全部情况）

使用递归情况

整个输出类似于一颗树，以分解6为例，过程如下图

 

 

源码实现：

 

#include 

//使用一个数组记录在递归过程中产生的前面需要重复输出的值
int set[100];
//用于在递归过程中判断是否递归到最深处，输出回车
int k;

//此函数表示使用不大于m的整数对n进行拆分的情况，i用于表示set数组已经存在的记录数长度
void q(int n,int m,int i)
{
    if(n==k&&n!=m)
    {
        //此时递归栈已经退回到某一分支的最上层，输出回车
        //并重置计数器i为0
        printf("\n");
        i=0;
    }
    if(n==1)
    {
        //当n为1，意味者着只能表示1
        printf("1 ");
        return;
    }
    else if(m==1)
    {
        //当m为1，意味着要输出n个m相加
        for(int i=0; im)
    {
        //如果n大于m，使用m作为分解，则要首先输出m+的形式
        printf("%d+",m);
        //记录下作为树干节点m的值并使i自增
        set[i++]=m;
        //递归输出m+以后的分解
        q(n-m,m,i);
        //递归完毕后需要将数组记录后退一个，回到上一个节点，如上图示过程2
        i--;
        //执行另一个分支，在下一次递归之前输出记录的数据，如上图示过程3
        for(int j=0; j