经典算法 | n皇后问题易理解算法和最高效率算法分析

经典算法值n后问题，

这题题给你一个n*n的棋盘，问你放置n个皇后共有多少种不用的放置方法，

在任意一个皇后所在位置的水平、竖直、以及45度斜线上都不能出现皇后的棋子

这是一个典型的回溯法框架，并且也是很简单的一个回溯法框架，比这个更简单的就只有字符串全排列问题了。

这题使用深度优先遍历的回溯法解决，每一行只放一个皇后，每一列只放一个皇后，如何判断某个皇后是否和前面已经放置的皇后斜线冲突呢，使用abs(a-b)==abs(c-d)，ac,bd分别为参与判断的两个皇后的横纵坐标，只要这个等式成立则这两个皇后一定斜线冲突

使用一个数组存储，数组的下标表示行数，数组存储的值表示列数，通过交换数组每个值的位置就能实现n皇后问题的全排列的寻找

 

n皇后问题简单易懂算法框架：

大体思路是对于数组list的第t个位置，表示第t层，其值表示这一行的皇后所在的列数，这里假设取list[t]为这一行的列数，当取定这一行的列数后把list[t]和list[a]交换位置，那么t+1~n（n为list长度）就是表示下一层皇后可供选择的列数

如何判断list[a]是否可取呢，只需要判断llist[a]和前面已经确定的皇后位置是否斜线冲突就行了，也就是abs(a-b)==abs(c-d)，ac,bd分别为参与判断的两个皇后的横纵坐标

 

public:
bool check(vector list, int t)
{
      for(int i = 0; i < t; i++)
      {
            if(abs(i - t) == abs(list[i] - list[t])) return false;
      }
      returntrue;
}
void p(vector list, int t,int& count)
{
      if(t == list.size()) {
            count++;return; }
      for(int i = t; i < list.size(); i++)
      {
            swap(list[i],list[t]);
            if(check(list, t)) p(list, t+1, count);
            swap(list[i],list[t]);
      }
}
int totalNQueens(int n) {
      vectorlist(n, 0); int count = 0;
      for(int i = 0; i < list.size(); list[i] = i,i++);
      p(list,0, count);
      returncount;
}
};

下面是n皇后问题的最高效率算法：

基本思路跟上面那一个很想，不同的地方是当确定一个皇后的位置后，假设确定位置为t，则将位置t行列之和对应的flag位置设定为1，将t行列之差对应的flag位置设定为1，将t列数相同的flag设置为1，之后再找皇后的时候只需要判断flag[i]&& !flag[row + i +n] && !flag[4* n + row - i])就行了，flag[4*n +row - i])前面加上一个4*n是因为行列之和最大为4*n

 

class Solution {
public:
      inttotalNQueens(int n) {
            boolflag[5 * n] ={ false };
            int num= 0;
            dfs(num, flag, 0, n);
            returnnum;
      }
      void dfs(int& num, bool* flag, int row, int n) {
            if (row == n) {
                  ++num;
                  return;
            }
            for (int i = 0; i