MCMC案例学习
闫超，天津财经大学统计系2011级研究生，方向：非寿险准备金评估。
高磊，天津财经大学统计系2011级研究生，方向：非寿险准备金评估。
这个案例，我们不关心题目的具体意义，重点放在利用贝叶斯的观点来解决问题时，MCMC在后续的计算中所发挥的巨大作用。我们知道，贝叶斯的结果往往是一个后验分布。这个后验分布往往很复杂，我们难以用经典的方法求解其期望与方差等一系列的数据特征，这时MCMC来了，将这一系列问题通过模拟来解决。从这个意义上说，MCMC是一种计算手段。依频率学派看来，题目利用广义线性模型可以解决，在贝叶斯看来同样以解决，但是遇到了一个问题，就是我们得到的非标准后验分布很复杂。我们正是利用MCMC来解决了这个分布的处理问题。本文的重点也在于此。
在使用MCMC时作者遵循了这样的思路，首先依照贝叶斯解决问题的套路，构建了非标准后验分布函数。然后初步运行MCMC，确定合适的scale。继而，确定适当的模拟批次和每批长度(以克服模拟取样的相关性)。最后，估计参数并利用delta方法估计标准误。
1. 问题的提出
这是一个关于R软件中mcmc包的应用案例。问题出自明尼苏达大学统计系博士入学考试试题。这个问题所需要的数据存放在logit数据集中。在这个数据集中有五个变量，其中四个自变量x1、x2、x3、x4，一个响应变量y。
对于这个问题，频率学派的处理方法是利用广义线性模型进行参数估计，下面是相应的R代码以及结果：
library(mcmc)
data(logit)
out <- glm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = logit, family = binomial(), x = T)
summary(out)
Call:
glm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, family = binomial(), data = logit,
x = T)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.746 -0.691 0.154 0.704 2.194
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.633 0.301 2.10 0.0354 *
x1 0.739 0.362 2.04 0.0410 *
x2 1.114 0.363 3.07 0.0021 **
x3 0.478 0.354 1.35 0.1766
x4 0.694 0.399 1.74 0.0817 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 137.628 on 99 degrees of freedom
Residual deviance: 87.668 on 95 degrees of freedom
AIC: 97.67
Number of Fisher Scoring iterations: 6
但是，使用频率学派的分析方法解决这个问题并不是我们想要的，我们希望使用Bayesian分析方法。对于Bayesian分析而言，我们假定数据模型(即广义线性模型)与频率学派一致。同时假定，五个参数(回归系数)相互独立，并服从均值为0、标准差为2的先验正态分布。
定义下面的R函数来计算非标准的对数后验分布概率密度(先验密度与似然函数相乘)。我们为什么要定义成密度函数的对数形式？因为虽然我们是从分布中采样，但是MCMC算法的执行函数metrop()需要的一个参数正是这个分布的密度函数的对数形式。
x <- out$x
y <- out$y
lupost <- function(beta, x, y) {
eta <- as.numeric(x %*% beta)
logp <- ifelse(eta < 0, eta - log1p(exp(eta)), -log1p(exp(-eta)))
logq <- ifelse(eta < 0, -log1p(exp(eta)), -eta - log1p(exp(-eta)))
logl <- sum(logp[y == 1]) + sum(logq[y == 0])
return(logl - sum(beta^2)/8)
}
2. 开始MCMC处理
在完成上面数据以及函数的定义(它们都是mcmc算法的输入参数)之后，我们就可以利用mcmc包中的metrop()来产生随机数据，模拟模型的后验分布。也就是说，我们将要从后验分布中进行取样。
set.seed(42)
beta.init <- as.numeric(coefficients(out))
out <- metrop(lupost, beta.init, 1000, x = x, y = y)
names(out)
[1] "accept" "batch" "initial" "final"
[5] "initial.seed" "final.seed" "time" "lud"
[9] "nbatch" "blen" "nspac" "scale"
[13] "debug"
此处metrop()使用到了如下几种参数：
lupost一个函数对象，即后验分布概率密度函数的对数。beta.init用来设定马氏链的初始状态。这里是上面广义线性模型的参数估计结果。nbatch = 1000是采样的样本容量，也就是马氏链的转移次数。x、y，是传入lupost函数中的一些参数。
metrop()函数的结果是一个list(列表)。模拟的数据存放在out$batch里。刚才的函数运行结果显示接受概率(accept)很低，所以我们调整一下proposal(建议分布)的重要参数scale(即随机游走MH算法的方差)来获得一个更合理的接受概率。什么是接受概率？我们用马氏链的方法对状态空间进行采样，那必然我们有一些值是访问不到的，接受概率就是对这种状况进行衡量的。接受概率大，说明访问越充分，接受概率小，访问就受到了一定的限制，访问不是很细致，但样本的自相关性会减弱。因此，接受概率不是越大越好，也不是越小越好。到底多大的接受概率我们认为才是合理的呢？理论显示，在五个需要估计参数的条件下，接受概率达到20%即可。我们开始尝试不同的scale值进行测试：
out <- metrop(out, scale = 0.1, x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.739
out <- metrop(out, scale = 0.3, x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.371
out <- metrop(out, scale = 0.5, x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.148
out <- metrop(out, scale = 0.4, x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.209
out <- metrop(out, nbatch = 10000, x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.2345
可以看到，每个metrop()中第一个参数均为out,它的含义是metrop()的许多参数与生成out的那一次模拟的参数一致，除了这次又修改的部分外，比如scale。这里改变的是scale，这是Metropolis随机游走算法中的一个参数值越大，那么马尔可夫链状态转移就越明显(样本自相关性减弱)，但同时接受概率就越低，所以这是一个需要兼顾两者的选择。从运行结果可以看到scale=0.4时满足了我们的要求。
3. 诊断，确定批次长度
我们找到了适合接受概率的scale值，下面我们按此参数增加模拟次数，然后观察结果。
out <- metrop(out, nbatch = 10000, x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.2332
out$time
user system elapsed
2.40 0.00 2.41
plot(ts(out$batch))
解释一下metrop()中的参数nbatch，其实与它对应的还有一个参数是blen；nbatch是要模拟的批数，blen是要模拟的每批的长度，blen默认为1。假如nbatch=100，blen=100，那么马氏链共转移100*100=10000次.
acf(out$batch)
在这个问题中，我们不研究收敛的问题。从自相关图可以看出，25阶以后的自相关系数可以忽略不计。所以每批次长度25就够了，为了更加保险，我们在下面的模拟中设置每批次长度为100。什么是批次？这是我们为了估计参数而对模拟的结果进行分组时的一个分组长度，之所以要分组，是因为这样才能克服相关性，使批次的均值之间近似独立。这样估计参数才更有效。
4. MCMC 的参数估计值与标准误
首先，运行以下程序：
out <- metrop(out, nbatch = 100, blen = 100, outfun = function(z, ...) c(z,
z^2), x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.2345
out$time
user system elapsed
2.46 0.00 2.54
outfun函数的作用是方便构建一些统计量。对于这个问题，我们关心的是后验均值和方差。均值的计算相对简单，只需要对涉及的变量进行平均。但是方差的计算有点棘手。我们需要利用等式
将方差表示为可以通过简单的平均进行估计的两部分的方程。因此，我们只需要得到样本的一阶矩和二阶矩。此处，函数outfun可针对参数(状态向量)z返回c(z, z 2 )。function() c(z, z 2 )的含义是，每次马氏链转移取样时，得到的一个状态x,把这个状态带入函数中，得到状态本身值，以及它的平方值。这样我们可以求解样本一阶距及二阶矩。
nrow(out$batch)
[1] 100
out$batch[1, ]
[1] 0.6239 0.8217 1.1411 0.4686 0.7494 0.4520 0.7730 1.3696 0.3048 0.6358
out$batch[1, 1] = 0.6239是第一批样本的一阶样本矩，out$batch[1, 6] = 0.452是第一批样本的二阶样本矩，注意这里out$ batch[1, 1] 2 与out$batch[1, 6]并不相等，因为这里的每批长度(blen)是100,只有当blen=1时，它们才相等。
outfun()函数中参数…是必要的，因为函数同样需要传递其他参数(如这里的x和y)到metrop()。
4.1 简单均值的计算
对每批次的均值再求均值
apply(out$batch, 2, mean)
[1] 0.6712 0.7771 1.1814 0.5114 0.7729 0.5465 0.7336 1.5399 0.3878 0.7453
前五个数就是对后验参数均值的蒙特卡洛估计值，紧随其后的五个数是对后验参数二阶矩的估计值。通过下面的程序，得到参数的方差估计.
foo <- apply(out$batch, 2, mean)
mu <- foo[1:5]
sigmasq <- foo[6:10] - mu^2
mu
[1] 0.6712 0.7771 1.1814 0.5114 0.7729
蒙特卡洛标准误(MCSE)通过批次均值进行计算。这是求均值对简单的方法。
(注：方差和标准误是两个不同的概念。方差是一个参数估计，而标准误是对参数估计好坏评价的度量。)
mu.muce <- apply(out$batch[, 1:5], 2, sd)/sqrt(out$nbatch)
mu.muce
= NA [1] 0.01367 0.01518 0.01785 0.01585 0.01622
额外因素sqrt(out$nbatch)的出现是因为批次均值的方差为σ 2 /b ，其中b是批次长度，即out$blen；而整体均值的方差为σ 2 /n ，其中n是迭代总数,即out$blen * out$nbatch。
4.2 均值的函数
下面我们使用delta method 得到后验方差的MC标准误。u i 代表某个参数单批次的一阶矩的估计值,u ¯ ¯ ¯ 代表某个参数所有批次均值的均值，它们都是针对一阶矩而言。对于二阶矩而言样有v i 和v ¯ ¯ ¯ 。令u=E(u ¯ ¯ ¯ ) , v=E(v ¯ ¯ ¯ ) 。采用delta方法将非线性函数线性化：
也就是说，g(u ¯ ¯ ¯ ,v ¯ ¯ ¯ )−g(u,v) 与 (v ¯ ¯ ¯ –v)−2u(u ¯ ¯ ¯ –u) 具有相同的渐进正态分布。而 (v ¯ ¯ ¯ –v)−2u(u ¯ ¯ ¯ –u) 的方差是(v i −v)−2u(u i −u) 方差的1/nbatch倍。这样MCSE可以这样计算：
我们将以上的计算过程用程序实现:
u <- out$batch[, 1:5]
v <- out$batch[, 6:10]
ubar <- apply(u, 2, mean)
vbar <- apply(v, 2, mean)
deltau <- sweep(u, 2, ubar)
deltav <- sweep(v, 2, vbar)
foo <- sweep(deltau, 2, ubar, "*")
sigmasq.mcse <- sqrt(apply((deltav - 2 * foo)^2, 2, mean)/out$nbatch)
sigmasq.mcse
[1] 0.004687 0.008586 0.007195 0.007666 0.007714
这五个值就是后验方差的蒙特卡洛标准误(MCSE)。
4.3 均值函数的函数
如果我们对后验标准差也感兴趣的话，也可以通过delta method计算它的标准误，程序如下
sigma <- sqrt(sigmasq)
sigma.mcse <- sigmasq.mcse/(2 * sigma)
sigma.mcse
[1] 0.007565 0.011923 0.009470 0.010789 0.010029
5. 最后的运行
问题已经解决。现在唯一需要改进的就是提高结果的精确度。(试题要求“你的马尔科夫链采样器必须足够长以保证参数估计的标准误低于0.01”)。取模拟批次为500，每批长度为400，运行如下：
out <- metrop(out, nbatch = 500, blen = 400, x = x, y = y)
out$accept
[1] 0.2352
out$time
user system elapsed
50.40 0.01 51.01
(显然，由于模拟的次数增大，程序运行时间变长，当然不同运算速度的计算机可能显示结果并不一样。下面进行均值和方差的估计。)
foo <- apply(out$batch, 2, mean)
mu <- foo[1:5]
sigmasq <- foo[6:10] - mu^2
mu
[1] 0.6636 0.7961 1.1712 0.5075 0.7241
然后计算均值估计的标准误
mu.muce <- apply(out$batch[, 1:5], 2, sd)/sqrt(out$nbatch)
mu.muce
[1] 0.002972 0.003611 0.003828 0.003604 0.004242
紧接着计算方差估计的标准误
u <- out$batch[, 1:5]
v <- out$batch[, 6:10]
ubar <- apply(u, 2, mean)
vbar <- apply(v, 2, mean)
deltau <- sweep(u, 2, ubar)
deltav <- sweep(v, 2, vbar)
foo <- sweep(deltau, 2, ubar, "*")
sigmasq.mcse <- sqrt(apply((deltav - 2 * foo)^2, 2, mean)/out$nbatch)
sigmasq.mcse
[1] 0.001062 0.001718 0.001538 0.001574 0.002007
给出标准差的估计以及标准误
sigma <- sqrt(sigmasq)
sigma.mcse <- sigmasq.mcse/(2 * sigma)
sigma.mcse
[1] 0.001752 0.002355 0.002116 0.002192 0.002509
以表格形式展示结果。
- 后验均值估计：
library(xtable)
data1 <- rbind(mu, mu.muce)
colnames(data1) <- c("constant", "x1", "x2", "x3", "x4")
rownames(data1) <- c("estimate", "MCSE")
data1.table <- xtable(data1, digits = 5)
print(data1.table, type = "html")
| constant | x1 | x2 | x3 | x4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| estimate | 0.66365 | 0.79608 | 1.17118 | 0.50755 | 0.72414 |
| MCSE | 0.00297 | 0.00361 | 0.00383 | 0.00360 | 0.00424 |
- 后验方差估计
data2 <- rbind(sigmasq, sigmasq.mcse)
colnames(data2) <- c("constant", "x1", "x2", "x3", "x4")
rownames(data2) <- c("estimate", "MCSE")
data2.table <- xtable(data2, digits = 5)
print(data2.table, type = "html")
| constant | x1 | x2 | x3 | x4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| estimate | 0.09195 | 0.13302 | 0.13200 | 0.12890 | 0.15997 |
| MCSE | 0.00106 | 0.00172 | 0.00154 | 0.00157 | 0.00201 |
- 后验标准差估计
data3 <- rbind(sigma, sigma.mcse)
colnames(data3) <- c("constant", "x1", "x2", "x3", "x4")
rownames(data3) <- c("estimate", "MCSE")
data3.table <- xtable(data3, digits = 5)
print(data3.table, type = "html")
| constant | x1 | x2 | x3 | x4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| estimate | 0.30323 | 0.36472 | 0.36332 | 0.35903 | 0.39997 |
| MCSE | 0.00175 | 0.00236 | 0.00212 | 0.00219 | 0.00251 |