相关滤波追踪算法１

Visual Object Tracking using Adaptive Correlation Filters 一文发表于2010的CVPR上，是笔者所知的第一篇将correlation filter引入tracking领域内的文章，文中所提的Minimum Output Sum of Squared Error(MOSSE)，可以说是后来CSK、STC、Color Attributes等tracker的鼻祖。Correlation Filter（以下简称CF）源于信号处理领域，后被运用于图像分类等方面。Correlation包含Cross-correlation和Auto-correlation，在这里我们一般指的就是Cross-correlation。首先看看维基百科上Cross-correlation的定义，假设有 f 和 g 两个函数（信号），其cross-correlationf⋆g定义为

(f⋆g)(τ)=def∫∞−∞f∗(t)g(t+τ)dt(1)(f⋆g)(n)=def∑−∞∞f∗[m]g(m+n)

　　其中 f∗ 表示 f 的复共轭，correlation的直观解释就是衡量两个函数在某个时刻 τ 的相似程度，如下图所示。考虑一个最简单的例子，假设 f 和 g 的形状一样，但是相差了若干个时刻，那么 f★g 取得最大值的时候一定是 f 和 g 对齐的时候（没谁比自己和自己更像了吧…），但因为两者有时间差，所以要取得最大值，就要把其中一个在时间轴上进行平移，所以 g(t+τ) 就代表把 g 平移 τ 个时刻。其实Convolution和Cross-correlation在图像处理的书里一般都会提到，这里就不多叙述了。

　　而Correlation Filter应用于tracking方面最朴素的想法就是：相关是衡量两个信号相似值的度量，如果两个信号越相似，那么其相关值就越高，而在tracking的应用里，就是需要设计一个滤波模板，使得当它作用在跟踪目标上时，得到的响应最大，如下图所示:

 

　　CF方法最大的优势在于其速度之快，是任何其他跟踪方法都无法比拟的，如本篇所写的MOSSE，其速度可以到669帧每秒，把跟踪算法从real time 级别提升到了high speed级别；而且其跟踪准确率高，在wuyi他们的online benchmark上，带核函数的CSK方法可以得到73%左右的准确率。有着如此明显的优点，相信此类方法将会成为跟踪领域内继sparse方法的又一重要分支。

　　 好，言归正传，我们先来介绍CF中的元老，MOSSE。按照我们刚刚的思路，我们需要寻找一个滤波模板，使得它在目标上的响应最大，那么写成公式就是如(2)所示

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　g=h ★f(2)                                                          

　　其中 g g表示响应输出， f f表示输入图像， h h表示我们的滤波模板。  g g可以为任意形状的响应输出，在上图的示意图里我们就假设它为gaussian形状。那么显然，我们只要求出 h h就可以了。这样做看起来很简单，但为何CF类方法的速度如此之快呢？就是因为在求解等一系列操作中，都利用了快速傅里叶变换FFT。由卷积定理的correlation版本可知，函数互相关的傅里叶变换等于函数傅里叶变换的乘积，即如(2)式所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Fh ★f=(Fh)∗⊙Ff(3)                                      

　　其中 F F表示傅里叶变换， ⊙ ⊙表示点乘。那么假设 f f所含的像素个数为 n n，而已知FFT的时间开销为 O(nlogn) ，因此式(3)的计算开销也为 O(nlogn) ！远比其他跟踪算法要快！明白这一点后，本篇论文的精华你已经掌握了。剩下的就是如何计算 h 了，为了表达的方便起见，我们设 Ff=F ，(Ff)*= H* ,Fg = G,那么我们就有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 H∗=GF　(4)                                                           

　　但是在实际应用中，因为目标的外观变换等因素影响，我们需要同时考虑目标的 m 个图像作为参考，以提高模型的鲁棒性，那么就有如(5)的目标函数了：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 minH∗∑i=1m|H∗Fi−Gi|2(5)

　　求解式(5)并不困难，而且根据卷积定理，在频率域的操作都是元素级别的，因此我们可以分别求解 H∗ H∗中的每一个元素 H∗w,v Hw,v∗，那么(5)就可以变为：

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 minH∗w,v∑i=1m|H∗w,vFw,v,i−Gw,v,i|2(6)

 　　然后对(6)式求导并使其为0即可求解，但要注意的是，论文中特别指出在复数域的求导与在实数域的有一点区别：

∂∂H∗w,v∑i=1m(H∗w,vFw,v,i−Gw,v,i)⋅(H∗w,v　　Fw,v,i−Gw,v,i)∗=0⇒∂∂H∗w,v∑i=1mH∗w,vFw,v,i⋅Hw,vF∗w,v,i−H∗w,vFw,v,iG∗w,v,i−Hw,vF∗w,v,iGw,v,i+Gw,v,iG∗w,v,i=0⇒∑i=1mFw,v,i⋅Hw,vF∗w,v,i−Fw,v,iG∗w,v,i=0⇒Hw,v=∑i=1mFw,v,iG∗w,v,i∑i=1mFw,v,iF∗w,v,i(7)

　　按以上方式处理所有 H 中的所有元素，得到：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 H=∑i=1mFi⊙G*i∑i=1mFi⊙F*i(8)                                                                             

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

                    

上式就是滤波器的模型公式。

但是在跟踪中该怎么得到滤波器H呢？ Fi 和 Gi 又该怎么获取？ 
在作者的文章中，其对跟踪框（groundtruth）进行随机仿射变换，获取一系列的训练样本 fi ，而 gi 则是由高斯函数产生，并且其峰值位置是在 fi 的中心位置。获得了一系列的训练样本和结果之后，就可以计算滤波器h的值。注意：这里的f,g,h的size大小都相同。 
作者为了让滤波器对与形变、光照等外界影响具有更好的鲁棒性，采取了如下的模板更新策略： 

Ht=AtBt

At=ηFt⋅G∗t+(1−η)At−1

Bt=ηFt⋅F∗t+(1−η)Bt−1

作者将滤波器的模型公式分为分子和分母两个部分，每个部分都分别的进行更新，更的参数为 η 。其中 At 和 At−1 分别表示的是当前帧和上一帧的分子。