P2797 Facer的魔法
题意：给你n个数，你可以选若干个数，使得平均数减中位数最大
数据范围：\(n \le 10^5\)
原题CF626E
很容易想到枚举一个中位数，但是如果选取的数字的个数是偶数个该怎么办呢？
下面证明选取奇数个时一定可以作为答案
当选取一个数字时，答案为0，所以最优答案不可能小于0，这点很重要
现在，我们假设选取了\(2k\)个有序的数成为了答案
设中位数为\(M_0=\frac{a_k+a_{k+1}}{2}\),平均数为\(A_0=\frac{\sum a}{2k}\)
拿掉一个\(a_{k+1}\)后答案会变差吗
设拿掉一个\(a_{k+1}\)后
\(M_1=a_k,A_1=\frac{\sum a-a_{k+1}}{2k-1}\)
\(\Delta M=M_1-M_0=\frac{a_k-a_{k+1}}{2}\)
\(\Delta A=\frac{A_0-a_{k+1}}{2k-1}\)
现在要证\(\Delta A \ge \Delta M\)
因为最优答案大于0，所以有
\(2 \times A_0 \ge a_k+a_{k+1}\)
继续证明
$\Delta A \ge \Delta M $
\(\Rightarrow \frac{A_0-a_{k+1}}{2k-1}+\frac{a_{k+1}-a_k}{2} \ge 0\)
\(\Rightarrow \frac{2A_0-2a_{k+1}+(2k-1)(a_{k+1}-a_k)}{(2k-1) \times 2} \ge 0\)
\(\Rightarrow a_k-a_{k+1} +(2k-1)(a_{k+1}-a_k) \ge 0\)
这一步用了上面的东西，并把正的分母去掉了
\(\Rightarrow 2 \times (k-1)(a_{k+1}-a_k) \ge 0\)
然而仅仅枚举中位数，就算我们贪心每次选大的数也需要\(O(n^2)\)的时间啊
我们从枚举的中位数的左边第一位和右边最后一位 一位一位的向左多选
因为选取的数字越来越小，所以平均数的增量肯定越来越小，其实这个不那么显然，但是证起来比较麻烦
而大家基本上可以理解理解啦
增量减少，值一定有一个峰顶，这是一个单峰函数，我们可以通过三分法找到这个峰顶
注意在整数域上三分要注意边界问题
我们可以这么写
\(lmid=(l*2+r)/3,rmid=(l+r*2+2)/3\)
Code:
#include
#include
const int N=1e5+10;
double ans=0;int a[N],f[N],n;
double max(double x,double y){return x>y?x:y;}
int min(int x,int y){return x 2018.9.6