数学虐哭空巢老人记
总结梳理：
学习过的东西
- 基础数论（gcd、exgcd、lucas、exlucas、bsgs、exbsgs）
- 一些数字（卡塔兰数、组合数、第一类斯特林数、第二类斯特林数、贝尔数、斐波那契数列）
- 多项式运算及生成函数（FFT、NTT、MTT、FWT）
- 一些筛法（埃氏筛法、杜教筛、Min_25筛）
- 一些反演（莫比乌斯反演、二项式反演、单位根反演、斯特林反演、(k)Min_max容斥）
- 其他（矩阵树定理、prufer序列）
还没有学到的东西
- 类欧几里得算法
- Burnside/Polya定理
- 快速莫比乌斯变换（FMT）
- 线性规划
- 常系数齐次递推（BM）
- 多项式多点求值
- 多项式插值
我不管我先搬之前写的东西：
多项式Review（yyb）
注意点&Trick
1.长度问题
两个最高次项分别为n和m的多项式相乘，长度应该为>n+m的最小的2的幂\(l\)，乘出来只会在\([0,l)\)内有值
2.构造问题
如何构造多项式？
记住一点：把对应关系画出来，找到规律再卷积！
字符串匹配
一类\(i=j\)型相乘，直接reverse其中一个即可
组合数类型
\(\sum_{i=1}^{n}RC(i,k)=\frac{1}{n!}\sum_{i=1}^{k}\frac{R_1i!}{R_2(i-k)!}\)
构造\(A[i]=R_1i!,B[i]=\frac{1}{R_2(n-i)!}\)
那么卷积起来后\(C[n+k]=\sum_{i=1}^{n}A[i]*B[n+k-i]=\sum_{i=1}^{n}\frac{R_1i!}{R_2(i-k)!}\)
题目
[x] 洛谷 1919 A*B Problem 升级版 (skip)
[x] SDOI2015 序列统计
数集S中选择一个可重排列使得排列内的数字乘积和%M=x的排列个数 由于M是质数，存在原根，所以将乘法变成原根的加法，具体来说，用$a_1g^1+a_2g^2+...+a_ng^n$表示选择各个数字的方案数，合并的话卷积就好了，用二进制快速幂实现[ ] HZOI2015 帕秋莉的超级多项式
[x] CF954I Yet Another String Matching Problem
pre：两个长度为n的字符串，每次可以花费1的代价，指定两个字母，把其中一个全部变为另一个，求使两个字符串相同的最小花费 sol：相同位置如果字母不同则用并查集并起来，合并次数即为答案 pro：字符集为6，问S的每个子串和T做上述问题的答案 sol：把T给reverse，做6*6次FFT，若A[|T|+i]上有值则说明这两个字母在i位置上需要并查集合起来，然后依次判断每个位置上的并查集个数即可[x] BZOJ3160 万径人踪灭
字符集为2的字符串求其一个子序列使得在原串上不全连续且关于某处对称 对于两个字符分别考虑，对S做卷积之后i位置上的值为k则表示有k/2对字符关于i/2位置对称，加上$2^k-1$的贡献，之后减去完全连续的，用Manacher计算即可[x] BZOJ4503 两个串
[x] BZOJ4259 残缺的字符串
双倍经验，两串有通配符，求从某位置开始是否能进行模糊匹配 把26个字母转为数字，通配符为0，检查$F(x)=\sum_{i=1}^{|T|}(S[x+i-1]-T[i])^2S[x+i-1]T[i]$是否为0即可[x] CF528D Fuzzy Search
模糊匹配，字符集${A,C,T,G}$，两串相同字符距离不超过k即可算作匹配上，求模式串在文本串中出现的次数 做4次，若S串的i位置为1，把$i-k$到$i+k$都设为1，FFT后某位置累计匹配字符个数为$|T|$即符合条件[x] HNOI2017 礼物
两个换，其中一个可以旋转，求$\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2$的最小值 拆了之后就是卷积最小值，那么只需要A串倍长，B串翻转，卷积后求结果序列的最小值即可[x] ZJOI2014 力
式子拆开后两遍FFT即可[x] Tjoi2016&Heoi2016 求和
[x] HAOI2018 染色
[x] AGC005F Many Easy Problems
对于k=1->n，求包含树上任意k个点的点集的联通块大小之和 考虑每一个点的贡献（期望的线性性），就是以其为根、自己选或至少两个子树选的方案数 容斥一下成为$C(n,k)-C(siz[son],k)$，只出现在一个子树内的情况不合法 求和之后套入组合数NTT即可[x] CQOI2014 通配符匹配
有两种通配符，一种匹配一个，一种匹配任意多个，求两串是否能够匹配，通配符个数不超过10 动态规划解决，状态为匹配上i个通配符，匹配到第j个位置是否可行，转移用哈希判断 多项式并不能解决此题[x] luogu4726 多项式exp
[x] luogu4721【模板】分治 FFT
给定$g(x)$求解$f(x)=\sum_{i=1}^xf(x-i)g(i)$ 很像卷积，但是前面的对后面有影响，考虑CDQ。 分治到$(L,R)$，则$f(L,mid)*g(0,R-L)$的第$k$项对$f(k-mid)$有贡献（画两排点去推一下） ```cpp void CDQ_FFT(int *a,int *b,int L,int R) { if(L==R) return; int mid=(L+R)>>1,len=R-L+1,tt=0; CDQ_FFT(a,b,L,mid); for(l=1;l<=len*2;l<<=1) tt++;tt--; for(int i=0;i[x] luogu4512【模板】多项式除法
[x] BZOJ3771 Triple
求n个物品中选走1或2或3个的价值和以及方案数 构造生成函数$A(x)=\sum cnt_ix^i$，表示价值为i的物品有$cnt_i$个 令$B(x)=\sum cnt_i^2x^{2i}$，$C(x)=\sum cnt_i^3x^{3i}$，分别表示同一种物品选了多次需要减去的生成函数 则选一个：$A(x)$。选两个：$\frac{A^2(x)-B(x)}{2}$。选三个：$\frac{A^3(x)-3*A(x)B(x)+2*C(x)}{6}$。相加即可[x] CF438E The Child and Binary Tree
在给定数集中选择若干个点作为二叉树的权值，要求权值和为n，求不同二叉树个数 设$G(x)=\sum a_ix^i$，表示权值和为i的二叉树有$a_i$种情况 设$F(x)=\sum b_ix^i$，表示点权i是否在数集中出现过 考虑二叉树的生成方式可得：$F(x)G^2(x)+1=G(x)$，表示新增一个点，左右儿子方案数为$G^2(x)$，还有空树的方案数。接下来套用多项式开放&求逆，把不能开方的解舍掉即可[x] BZOJ3028 食物
一个人带n种物品的方案数，要求n种物品只能带$w_i$的倍数个或者一些奇怪的限制条件 裸生成函数，用初一的因式分解化简后得到$\frac{x}{(1-x)^4}$ 考虑其组合意义，$\frac{x}{(1-x)^4}=x(1+x^2+x^3+...+x^\inf)^4$，表示把$n-1$划分成$4$个自然数的方案数 即$n$个空位插$3$个隔板的可重组合$C({n+3-1},3)=C(n+2,3)$[x] BZOJ3456 城市规划
[x] luogu4233 射命丸文的笔记
[x] 有标号的 DAG 计数 I
[x] 有标号的 DAG 计数 II
[x] 有标号的 DAG 计数 III
[x] 有标号的 DAG 计数 IIII
[x] HDU5730 Shell Necklace
[x] luogu4389 付公主的背包
[x] luogu4705 玩游戏
[x] loj6261 一个人的高三楼
[x] loj6089 小 Y 的背包计数问题
多项式运算（for instant access）
运用牛顿迭代（泰勒展开式）可得
\[B_{t+1}(x)=B_t(x)-\frac{F(B_t(x))}{F'(B_t(x))}\]
其中\(F(B(x))\)表示一个需要值为0的函数，如求逆时构造\(F(x)=A(x)B(x)-1\)，注意求导不是复合函数求导，而是把\(B(x)\)当自变量，对\(F(x)\)求导
求导
\[B[i]=A[i+1]*(i+1)\]
求积分
\[B[i]=\frac{A[i-1]}{i}\]
求逆
\[B_{t+1}=2B_t-AB_t^2\]
开方
\[B_{t+1}=\frac{1}{2}(B_t+\frac{A}{B_t})\]
求ln
\[B=lnA,B'=\frac{A'}{A}\]再积回来
求exp
\[B_{t+1}=B_t(A-lnB_t+1)\]
除法
\(F(x)=A(x)G(x)+B(x)\)，\(F(x)\)最高项为n，\(G(x)\)最高项为m，则\(A(x)\)最高项为n-m，\(B(x)\)为m-1
\(F^R(x)=A^R(x)G^R(x)+x^{n-m+1}B(x),A^R(x)=\frac{F^R(x)}{G^R(x)}(mod\ x^{n-m})\)，回代求解B(x)
求exp的模板代码（包含除开方/除法的所有操作）
#include
#include
#include
using namespace std;
const int mod=998244353,N=4e5+10;
int n,r[N],l,tt,inv[N],A[N],B[N],C[N],D[N];
int E[N],F[N],G[N],H[N],I[N],w[N];
int ksm(int x,int k)
{
int s=1;for(;k;k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
if(k&1) s=1ll*s*x%mod;return s;
}
void NTT(int *P,int op,int l)
{
int tt=0;for(int w=1;w>1]>>1)|((i&1)<i) swap(P[i],P[r[i]]);
for(int i=1;i>1);
for(int i=0;i>1);
Getln(b,G,len);
for(int i=0;i>n;n--;
for(int i=0;i<=n;i++) cin>>H[i],H[i]%=mod;
for(l=1;l<=n;l<<=1);
inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<=l;i++) inv[i]=(mod-1ll*mod/i*inv[mod%i]%mod)%mod;
Getexp(H,I,l);
for(int i=0;i<=n;i++) printf("%d ",I[i]);
return puts(""),0;
} 数论专题（gxy）
算法
杜教筛
zzq总结：https://www.cnblogs.com/zzqsblog/p/5461392.html
推荐博客：https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
yyb题单：http://www.cnblogs.com/cjyyb/category/1148840.html
- [x] 【模板】杜教筛（Sum） https://www.luogu.org/problemnew/show/P4213
- [x] 简单的数学题 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768
- [x] 神犇和蒟蒻 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4916
- [x] [NOI2016]循环之美 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1587
扩展卢卡斯
- [x] 【模板】扩展卢卡斯 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720
- [x] 洛谷 P3301 [SDOI2013] 方程 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3301
- [x] BZOJ 4403 序列统计 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4403
- [ ] 洛谷 P3726 [AH2017/HNOI2017] 抛硬币 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3726
- [ ] 洛谷 P4345 [SHOI2015] 超能粒子炮・改 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4345
Min_25筛
yyb总结：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/10169190.html
ycb总结：https://www.cnblogs.com/GuessYCB/p/10061411.html
- [x] [LOJ6053] 简单的函数 https://loj.ac/problem/6053
- [x] [UOJ188] sanrd http://uoj.ac/problem/188
- [ ] [51nod1847] 奇怪的数学题
- [x] SP20173 Counting Divisors (square/general/cube) https://www.luogu.org/problemnew/show/SP20173
各种筛
- [ ] [BZOJ3309] DZY Loves Math
- [ ] [CQOI2017] 小Q的表格
- [ ] [Luogu4240] 毒瘤之神的考验
(ex)BSGS
就是两个板子，见博客：orzzzzsy
自己的代码习惯：BSGS、EexBSGS
- [x] SP3105 MOD - Power Modulo Inverted
- [x] P4195【模板】exBSGS/Spoj3105 Mod
- [x] TJOI2007 可爱的质数
题目
- [x] 洛谷 P2183 [国家集训队] 礼物 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2183
- [x] 51Nod 1509 加长棒
- [x] 洛谷 P3200 [HNOI2009] 有趣的数列 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3200
- [x] 洛谷 P3216 [HNOI2011] 数学作业 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3216
- [x] 洛谷 P3166 [CQOI2014] 数三角形 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3166
- [x] 洛谷 P2155 [SDOI2008] 沙拉公主的困惑 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2155
- [x] 洛谷 P2480 [SDOI2010] 古代猪文 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2480
- [x] 洛谷 P4454 [CQOI2018] 破解 D-H 协议 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4454
- [x] 洛谷 P4358 [CQOI2016] 密钥破解 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4358
- [ ] Atcoder ARC 102E Stop.Otherwise...
- [x] 洛谷 P2467 [SDOI2010] 地精部落 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2467
- [x] 洛谷 P3214 [HNOI2011] 卡农 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3214
- [x] 洛谷 P4931 情侣? 给我烧了!
- [x] UVA 10213 How Many Pieces of Land ? https://www.luogu.org/problemnew/show/UVA10213
- [x] 洛谷 P3255 [JLOI2013] 地形生成 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3255
- [x] 洛谷 P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4827
- [x] 洛谷 P3747 [六省联考 2017] 相逢是问候 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3747
- [x] 洛谷 P3327 [SDOI2015] 约数个数和
组合数公式
1、\(C_{m+r+1}^r=\sum_{i=0}^{r}C_{m+i}^{i}\)
2、\(\sum_{i=0}^mC_m^i*x^i=(x+1)^m\)，推广到\(x=-1\)
3、\(\sum_{i=1}^nC_n^i*i=n*2^{n-1}\)
4、\(\sum_{i=1}^n{i\choose a}{n-i\choose b}={n+1\choose a+b+1}\)，范德蒙恒等式
卡塔兰数公式
定义第0项开始为：1,1,2,5,14,42,132,429......
1、定义式：\(C[n+1]=C[0]C[n]+C[1]C[n-1]+C[2]C[n-2]+...+C[n]C[0]\)
2、递推式：\(C[n+1]=\frac{C[n]*(4n-2)}{n+1}\)
3、组合式：\(C[n]=\frac{C(2n,n)}{n+1}=C(2n,n)-C(2n,n-1)\)
斯特林数公式
第一类斯特林数
\(s[i][j]\)表示把\(i\)个不同的球构成\(j\)个圆排列的方案数
1、递推式：\(s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j]\)
2、性质式：\(\sum_{i=0}^ns[n][i]=n!\)
第二类斯特林数
\(S[i][j]\)表示把\(i\)个不同的球放进\(k\)个相同盒子里的方案数
1、递推式：\(S[i][j]=S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j]\)
2、NTT式：\(S[n][k]=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^iC(k,i)(k-i)^n\)
3、幂次式：\(x^k=\sum_{i=1}^xS(k,i)C(x,i)i!=\sum_{i=1}^kS(k,i)C(x,i)i!\)
理解：\(x^k\)表示把\(k\)个有区别的球放入\(x\)个不同的盒子里，允许空盒的方案数
可以表示成把\(k\)个球分到\(i\)个盒子，没有空盒的方案数，\(i!\)强行给盒子搞个差别
循环上界都可以，因为一旦大于了其中一个式子就等于0了
贝尔数
\(B[i]\)表示\(n\)的集合划分数
1、递推式：\(B[n+1]=\sum_{i=0}^nC(n,i)B[i]\)
2、取模式：\(B[n+p]\equiv B[n]+B[n+1]\ (mod\ p)\)
3、定义式：\(B[n]=\sum_{i=1}^nS[n][i]\)
斐波那契数列
定义自第1项起为1,1,2,3,5,8,13,21.....
1、通项公式：\(F[n]=\frac{\sqrt 5}{5}[(\frac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt 5}{2})^n]\)
2、前缀和公式：\(\sum_{i=1}^nF[i]=F[n+2]-1\)
3、前缀平方和公式：\(\sum_{i=1}^nF[i]^2=F[n]*F[n+1]\)
4、前缀和公式变形：\(\sum_{i=1}^ni*F[i]=n*F[n+2]-F[n+3]+2\)
5、前缀奇数项和公式：\(\sum_{i=1}^nF[2i-1]=F[2n]-F[2]+F[1]\)
6、前缀偶数项和公式：\(\sum_{i=1}^nF[2i]=F[2n+1]-F[1]\)
空巢专题（fdf）
矩阵树定理
Min_max容斥
二项式反演
单位根反演
斯特林反演
一些重要的反演式子
\[\sum_{i=0}^n {n\choose i}(-1)^i=[n==0]\]
唉我太菜了儿子们回来后这些东西都忘光了