不同特征值对应的 对应 的 特征向量线性无关 的思考

这是我们既知的结论，现在来思考一下证明的过程。

分析：1000题上给的证明方法是用数学归纳法，给我的感觉是有点突兀，好吧，至少我不会想到初始条件是一个向量所以线性无关，先附上答案的证明，我并不喜欢这种方法。

上面的过程是可以看懂的，但是让我写，肯定想不到，现在来进行自己的分析，将问题简化，假设现在只有两个特征值，，对应的特征向量分别是，，这个时候你怎么证？我会选择用反证法，假设两个向量线性相关，

现在当上升至n维，这种方法就失效了，但是依然给你有启迪，核心就是特征值不等。依旧采取上面的思想，

此处采取了范德蒙的思想，此方法才是我的最爱！

加深理解

（1）虽然不同特征值对应的特征向量线性无关，但同一特征值对应的特征向量不一定线性无关，这很好理解，回归我们是怎么求出特征向量的，列方程组求的，所以假设现在是三阶矩阵A，对应有一个二重特征值2，现在如果可以相似对角化，则满足

r（2E-A）=1；对于这个秩为1的矩阵，可以写出的相关的向量有无数个。

（2）特征向量的代数上含义是：将矩阵乘法转换为数乘操作；特征向量的几何含义是：特征向量通过方阵A变换只进行伸缩，而保持特征向量的方向不变。特征值表示的是这个特征到底有多重要，类似于权重，而特征向量在几何上就是一个点，从原点到该点的方向表示向量的方向。

总结：此处看了几篇文章，发现了原来这里就是之前自己学的主成分分析的理论基础，好吧，我现在没有时间研究这个，后续考完研你得写一篇主成分分析与特征向量的文章！！！特征向量很有用，线性代数很有用，你现在学的远远不够！！！