决策树的损失函数是什么？怎么理解？

在学习决策树的过程中,会存在损失函数。损失函数是什么呢?如何理解?

一.决策树的损失函数

为了避免出现过拟合的现象，我们要对决策树进行剪枝。
决策树的剪枝类似一种参数正则化的过程，其选择正则化的参数是树的叶子节点的个数。

设决策树 T 的叶子节点个数为 |T|，t 是树 T 的叶子节点，该叶节点有 N_t 个样本点，其中 k 类的样本点有 N_tk 个，H_t(T) 为叶节点 t 上的经验熵，α⩾0 为正则化系数，则包含剪枝的决策树的损失函数可以定义为：

其中，经验熵为：

右边第一项表示误差大小，第二项表示模型的复杂度，也就是用叶节点表示，防止过拟化。
损失函数中的第一项表示模型对训练数据的预测误差，也就是模型的拟合程度，第二项表示模型的复杂程度，通过参数 α 控制二者的影响力。一旦 α 确定，那么我们只要选择损失函数最小的模型即可。

二.如何理解

损失函数第一项为什么要乘以N_t呢？

1. 理解1

• 首先问一个问题，H_t(T)代表的是什么？你肯定会说是经验熵，那什么是经验熵，你肯定会说是不确定度，到这里都没错，那这个不确定度是什么的不确定度呢？

• 可以理解为，这个叶子节点内部取k个类的不确定度，注意是节点【内部】的不确定度，每个叶子节点可以看作是独立的，既然是内部的事情，凭什么暴力的将各个内部的不确定度相加，我们至少到同一个级别的平台再加吧。

• 不知道你现在有没有感觉暴力的相加确实少了点什么，我的理解是，少了该节点的样本数，也就是N_t。不知道你有没有注意到，信息熵只用到了概率，而忽略了样本数，也就是只关注内部各个类别的比例，而不在乎整体数量的多少，那么乘以N_t后，我们把它叫做不确定次数，不确定程度就是不确定次数归一化后的东西。

• 既然都这么暴力了，就更暴力一点，你把Ht(T)理解成频率，N_t*H_t(T)对应地理解成次数吧。比如有A股B股两支股票，A股买了10次，赚了7次，B股买了100次，赚了50次，赚的频率分别是0.7和0.5，那么计算你投资的能力，是0.7+0.5更有意义呢还是7+50更有意义呢？我觉得7+50更有意义吧。

• 虽然不确定性和不确定次数并非频率和次数，但它们的相对关系就这么理解吧。

2. 理解2
   对每个叶节点t来说，H_t(T)表示t的熵（也就是不确定性）的期望，针对的是t子节点中每个数据实例的熵的期望，t子节点中有N_t个实例，那么t子节点总的熵（不确定性）就是N_tH_t(T)，整个树有∣T∣个叶节点，加起来就是整棵树的熵（不确定性，也可以理解成误差）。

可以看出，决策树的构建过程只考虑对于训练数据的拟合，每次特征选择也是考虑局部最优，而剪枝过程则是一个全局优化的过程，剪枝的过程利用验证集进行。

来源:https://blog.csdn.net/wjc1182511338/article/details/76793598