算法入门6:回溯法
一. 回溯法 – 深度优先搜素
1. 简单概述
回溯法思路的简单描述是:把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示,然后使用深度优先搜索策略进行遍历,遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。
基本思想类同于:
【
分支限界法:广度优先搜索
思想类同于:图的广度优先遍历
二叉树的层序遍历
】
2. 详细描述
详细的描述则为:
回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树,当算法搜索至解空间树的某一节点时,先利用剪枝函数判断该节点是否可行(即能得到问题的解)。如果不可行,则跳过对该节点为根的子树的搜索,逐层向其祖先节点回溯;否则,进入该子树,继续按深度优先策略搜索。
回溯法的基本行为是搜索,搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类:1. 使用约束函数,剪去不满足约束条件的路径;2.使用限界函数,剪去不能得到最优解的路径。
问题的关键在于如何定义问题的解空间,转化成树(即解空间树)。解空间树分为两种:子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。
3. 回溯法应用
当问题是要求满足某种性质(约束条件)的所有解或最优解时,往往使用回溯法。
它有“通用解题法”之美誉。
二. 回溯法实现 - 递归和递推(迭代)
回溯法的实现方法有两种:递归和递推(也称迭代)。一般来说,一个问题两种方法都可以实现,只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
【类比于图深度遍历的递归实现和非递归(递推)实现】
1. 递归
思路简单,设计容易,但效率低,其设计范式如下:
-
- void backtrack (int t)
- {
- if (t>n) output(x);
- else
- for i = 1 to k
- {
- x[t]=value(i);
-
- if (constraint(t)&&bound(t))
- backtrack(t+1);
- }
- }
2. 递推
算法设计相对复杂,但效率高。
-
- void iterativeBacktrack ()
- {
- int t=1;
- while (t>0) {
- if(ExistSubNode(t))
- {
- for i = 1 to k
- {
- x[t]=value(i);
- if (constraint(t)&&bound(t))
- {
-
- if (solution(t)) output(x);
- else t++;
- }
- }
- }
- else
- {
- t--;
- }
- }
- }
三. 子集树和排列树
1. 子集树
所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时,相应的解空间成为子集树。
如0-1背包问题,从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包,使得在满足背包不超重的情况下,背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。
回溯法搜索子集树的算法范式如下:
- void backtrack (int t)
- {
- if (t>n) output(x);
- else
- for (int i=0;i<=1;i++) {
- x[t]=i;
- if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
- }
- }
-
2. 排列树
所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时,相应的解空间就是排列树。
如旅行售货员问题,一个售货员把几个城市旅行一遍,要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列,解空间就是排列树。
回溯法搜索排列树的算法范式如下:
- void backtrack (int t)
- {
- if (t>n) output(x);
- else
- for (int i=t;i<=n;i++) {
- swap(x[t], x[i]);
- if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);
- swap(x[t], x[i]);
- }
- }
-
四. 经典问题
(1)装载问题
(2)0-1背包问题
(3)旅行售货员问题
(4)八皇后问题
(5)迷宫问题
(6)图的m着色问题
1. 0-1背包问题
问题:给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为pi,背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
分析:问题是n个物品中选择部分物品,可知,问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时,其解空间树如下图,边为1代表选择该物品,边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包,x[i]=0表示不放,x[i]=1表示放入。回溯搜索过程,如果来到了叶子节点,表示一条搜索路径结束,如果该路径上存在更优的解,则保存下来。如果不是叶子节点,是中点的节点(如B),就遍历其子节点(D和E),如果子节点满足剪枝条件,就继续回溯搜索子节点。
![](http://img.e-com-net.com/image/info8/d08e782741b049a2b094223212f0e926.png)
代码:
- #include
-
- #define N 3 //物品的数量
- #define C 16 //背包的容量
-
- int w[N]={10,8,5};
- int v[N]={5,4,1};
- int x[N]={0,0,0};
-
- int CurWeight = 0;
- int CurValue = 0;
-
- int BestValue = 0;
- int BestX[N];
-
-
- void backtrack(int t)
- {
-
- if(t>N-1)
- {
-
- if(CurValue>BestValue)
- {
-
- BestValue = CurValue;
- for(int i=0;i
- }
- }
- else
- {
-
- for(int i=0;i<=1;++i)
- {
- x[t]=i;
-
- if(i==0)
- {
- backtrack(t+1);
- }
- else
- {
-
- if((CurWeight+w[t])<=C)
- {
- CurWeight += w[t];
- CurValue += v[t];
- backtrack(t+1);
- CurWeight -= w[t];
- CurValue -= v[t];
- }
- }
- }
-
- }
- }
-
- int main(int argc, char* argv[])
- {
- backtrack(0);
-
- printf("最优值:%d\n",BestValue);
-
- for(int i=0;i
- {
- printf("最优解:%-3d",BestX[i]);
- }
- return 0;
- }
2. 旅行售货员问题
回溯法----旅行售货员问题
3. 详细描述N皇后问题
问题:在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后,任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。
分析:从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。
使用Board[N][N]来表示棋盘,Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空,Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。
全局变量way表示总共的摆放方法数目。
使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时,说明所有皇后都已经摆 放完成,这是一个可行的摆放方法,输出结果;否则,遍历棋盘,找皇后t所有可行的摆放位置,Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处,如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1,如果不能摆放,则判断下一个位置。
Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法,继而判断(row,col)处是否已有皇后,有则冲突,返回0,无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向,每次从(row,col)向四个方向延伸一个格子,判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突,则返回1,表示此位置可以摆放一个皇后。
![](http://img.e-com-net.com/image/info8/88074cb1109c4d68b3102e86d310af65.png)
代码:
PS:该问题还有更优的解法。充分利用问题隐藏的约束条件:每个皇后必然在不同的行(列),每个行(列)必然也只有一个皇后。这样我们就可以把N个皇后放到N个行中,使用Pos[i]表示皇后i在i行中的位置(也就是列号)(i = 0 to N-1)。这样代码会大大的简洁,因为节点的子节点数目会减少,判断冲突也更简单。
4. 迷宫问题
问题:给定一个迷宫,找到从入口到出口的所有可行路径,并给出其中最短的路径
分析:用二维数组来表示迷宫,则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始,选择下一个可以走的位置,如果位置可走,则继续往前,如果位置不可走,则返回上一个位置,重新选择另一个位置作为下一步位置。
N表示迷宫的大小,使用Maze[N][N]表示迷宫,值为0表示通道(可走),值为1表示不可走(墙或者已走过);
Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)
(ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标
(EXIT_X, EXIT _Y) 是迷宫出口的坐标
Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径
BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径
Maze()函数用来递归走迷宫,具体步骤为:
1. 首先将当前点加入路径,并设置为已走
2. 判断当前点是否为出口,是则输出路径,保存结果;跳转到4
3. 依次判断当前点的上、下、左、右四个点是否可走,如果可走则递归走该点
4. 当前点推出路径,设置为可走
代码:
-
-
-
-
-
-
- #include
- #include
-
- using namespace std;
-
- typedef struct
- {
- int x;
- int y;
- }Point;
-
- #define N 10 //迷宫的大小
- #define ENTER_X 0 //入口的位置(0,0)
- #define ENTER_Y 0
- #define EXIT_X N-1 //出口的位置(N-1,N-1)
- #define EXIT_Y N-1
-
-
- int Maze[N][N];"white-space:pre;">
- int paths;"white-space:pre;">
- vector Path;"white-space:pre;">
- vector BestPath;"white-space:pre;">
-
- bool First = true;"white-space:pre;">
-
-
- void InitMaze()
- {
- "white-space:pre;">
- "white-space:pre;">
- int mz[10][10]={
- {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1},
- {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1},
- {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1},
- {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1},
- {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1},
- {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1},
- {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1},
- {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1},
- {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
- {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}
-
- };
-
-
- memcpy(Maze,mz,sizeof(mz));
-
- paths = 0;
- }
-
-
- void MazeTrack(int x,int y)
- {
-
-
- Point p={x,y};
- Path.push_back(p);
- Maze[x][y] = 1;
-
-
-
-
-
- if(x == EXIT_X && y== EXIT_Y)
- {
- cout<<"找到一条道路"<
- paths++;
-
-
- vector::iterator it;
- for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
- {
- cout<<"("<x<<","<y<<") ";
- }
- cout<
-
-
- if(First)
- {
- for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
- {
- BestPath.push_back(*it);
- }
- First = false;
- }
- else
- {
-
- if(Path.size()
- {
- BestPath.clear();
- for(it=Path.begin();it!=Path.end();++it)
- {
- BestPath.push_back(*it);
- }
- }
- }
- }
-
-
-
-
- if((x-1)>=0 && Maze[x-1][y]==0)
- {
- MazeTrack(x-1,y);
- }
-
- if((x+1)
- {
- MazeTrack(x+1,y);
- }
-
- if((y-1)>=0 && Maze[x][y-1]==0)
- {
- MazeTrack(x,y-1);
- }
-
- if((y+1)
- {
- MazeTrack(x,y+1);
- }
-
-
-
- Path.pop_back();
- Maze[x][y] = 0;
- }
-
-
- int main(int argc, char* argv[])
- {
-
- InitMaze();
-
-
-
-
-
- MazeTrack(ENTER_X,ENTER_Y);
-
-
- cout<<"可行路径总条数为"<";最优路径为"<
- vector::iterator it;
- for(it=BestPath.begin();it!=BestPath.end();++it)
- {
- cout<<"("<x<<","<y<<") ";
- }
- cout<
- return 0;
- }
PS:用WPF实现了一个简单的图形化迷宫程序。白色表示通道,红色表示墙,最短的路径用黄色显示。目前实现了一个10*10的迷宫自动搜素最短通路,右侧显示搜索过程中得到的每一个可行通路。
由于构造一个迷宫比较复杂,所以暂时“迷宫设置”功能没有做实现,至于手动一步步查看搜素过程的动画也没有做实现。
![](http://img.e-com-net.com/image/info8/75eb7e5caf5441f4bdacbe9325b68324.png)
![](http://img.e-com-net.com/image/info8/440f50f232ae40ffa6b0cf2a09683d7f.png)
实现的大致思路如下:迷宫的数据使用二维数据mazeData表示。迷宫的显示使用Grid控件表示,每个方格处添加一个Rectangle控件,如果该方格mazeData值为0,则填充白色值为1,则填充红色,值为2则填充黄色。
XAML代码为:
- <Window x:Class="MazeAnimation.MainWindow"
- xmlns="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml/presentation"
- xmlns:x="http://schemas.microsoft.com/winfx/2006/xaml"
- Title="迷宫" Height="496" Width="673" Loaded="Window_Loaded">
- <Grid>
- <Grid.RowDefinitions>
- <RowDefinition Height="30">RowDefinition>
- <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
- <RowDefinition Height="120">RowDefinition>
- Grid.RowDefinitions>
-
- <Grid.ColumnDefinitions>
- <ColumnDefinition Width="463">ColumnDefinition>
- <ColumnDefinition Width="*">ColumnDefinition>
- Grid.ColumnDefinitions>
-
- <DockPanel Name="dpTips" Grid.Row="0" Grid.ColumnSpan="2" Background="AliceBlue" >
- <Label FontSize="16" Foreground="#FFAD1616" HorizontalAlignment="Center">迷宫的动态演示Label>
- DockPanel>
-
- <Grid Name="gdMaze" Grid.Row="1" Grid.Column="0" HorizontalAlignment="Stretch" VerticalAlignment="Stretch" >
-
- Grid>
-
- <ScrollViewer Grid.Row="1" Grid.Column="1" Margin="5" HorizontalAlignment="Stretch" HorizontalScrollBarVisibility="Auto">
- <TextBox Name="tbLog" Background="Beige">TextBox>
- ScrollViewer>
-
- <DockPanel Name="dpSetting" Grid.Row="2" Grid.Column="0" VerticalAlignment="Stretch">
-
- <TabControl Name="tcMazeSetting" Background="#FFE5D9D9" VerticalAlignment="Stretch" HorizontalAlignment="Stretch">
- <TabItem Header="迷宫设置" Name="tabItemMaze">
- <Grid>
- <Grid.RowDefinitions>
- <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
- <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
- <RowDefinition Height="*">RowDefinition>
- Grid.RowDefinitions>
- <Grid.ColumnDefinitions>
- <ColumnDefinition Width="60">ColumnDefinition>
- <ColumnDefinition Width="*">ColumnDefinition>
- Grid.ColumnDefinitions>
-
- <Label Content="大小:" Name="label1" Grid.Row="0" Grid.Column="0"/>
- <Label Content="入口:" Name="label2" Grid.Row="1" Grid.Column="0"/>
- <Label Content="出口:" Name="label3" Grid.Row="2" Grid.Column="0"/>
-
- <StackPanel Grid.Row="0" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
- <Label Content="高:">Label>
- <TextBox Name="tbMazeHeight" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
- <Label Content="宽:">Label>
- <TextBox Name="tbMazeWidth" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
- StackPanel>
-
- <StackPanel Grid.Row="1" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
- <Label Content="X=">Label>
- <TextBox Name="tbEnterX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
- <Label Content="Y=">Label>
- <TextBox Name="tbEnterY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
- StackPanel>
-
- <StackPanel Grid.Row="2" Grid.Column="1" Orientation="Horizontal">
- <Label Content="X=">Label>
- <TextBox Name="tbExitX" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
- <Label Content="Y=">Label>
- <TextBox Name="tbExitY" HorizontalAlignment="Left" MinWidth="40">TextBox>
- StackPanel>
- Grid>
-
- TabItem>
- <TabItem Header="演示设置" Name="tabItemDemo">
- <StackPanel Orientation="Vertical" HorizontalAlignment="Stretch">
- <CheckBox Name="cbAutoRun" Content="自动执行" Margin="10">CheckBox>
- <StackPanel Orientation="Horizontal">
- <Label Content="执行速度:" Margin="10">Label>
- <TextBox Name="tbAutoRunSpeed" MinWidth="50" Margin="10">TextBox>
- <Label Content="毫秒" Margin="0,10,0,10">Label>
- StackPanel>
- StackPanel>
- TabItem>
- TabControl>
- DockPanel>
-
- <StackPanel Orientation="Horizontal" Grid.Row="2" Grid.Column="1" HorizontalAlignment="Center">
- <Button Name="btnStart" Content="自动开始" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnStart_Click">Button>
- <Button Name="btnNext" Content="手动下一步" Height="40" Width="70" Margin="5" Click="btnNext_Click">Button>
- StackPanel>
- Grid>
- Window>
对应的MainWindow.xaml.cs代码为:
- using System;
- using System.Collections.Generic;
- using System.Linq;
- using System.Text;
- using System.Windows;
- using System.Windows.Controls;
- using System.Windows.Data;
- using System.Windows.Documents;
- using System.Windows.Input;
- using System.Windows.Media;
- using System.Windows.Media.Imaging;
- using System.Windows.Navigation;
- using System.Windows.Shapes;
-
- namespace MazeAnimation
- {
-
-
-
-
-
-
- public partial class MainWindow : Window
- {
- public struct Point
- {
- public int x;
- public int y;
- public Point(int a, int b) { x = a; y = b; }
- };
-
- public bool bAutoRun = true;
- public int mazeHeight = 10;
- public int mazeWidth = 10;
-
- int[,] mazeData = new int[10, 10]
- {
- {0,0,1,1,1,1,1,1,1,1},
- {1,0,0,1,1,0,0,1,0,1},
- {1,0,0,1,0,0,0,1,0,1},
- {1,0,0,0,0,1,1,0,0,1},
- {1,0,1,1,1,0,0,0,0,1},
- {1,0,0,0,1,0,0,0,0,1},
- {1,0,1,0,0,0,1,0,0,1},
- {1,0,1,1,1,0,1,1,0,1},
- {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0},
- {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0}
-
- };
-
- public int enterX = 0;
- public int enterY = 0;
- public int exitX = 9;
- public int exitY = 9;
- public int runSpeed = 100;
-
- public int paths = 0;
- public Stack path = new Stack();
- public Stack bestPath = new Stack();
- public bool bFrist = true;
-
-
- public MainWindow()
- {
- InitializeComponent();
- }
-
-
- private void DisplayMaze()
- {
- gdMaze.Children.Clear();
-
- for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)
- {
- for (int j = 0; j < mazeWidth; j++)
- {
- Rectangle rect = new Rectangle();
- rect.SetValue(Grid.RowProperty, i);
- rect.SetValue(Grid.ColumnProperty, j);
-
- if (mazeData[i, j] == 0)
- {
- rect.Fill = Brushes.White;
- }
- else if (mazeData[i, j] == 1)
- {
- rect.Fill = Brushes.Red;
- }
- else if (mazeData[i, j] == 2)
- {
- rect.Fill = Brushes.Yellow;
- }
- else if (mazeData[i, j] == 3)
- {
- rect.Fill = Brushes.Blue;
- }
- gdMaze.Children.Add(rect);
- }
- }
- }
-
-
- private void InitMaze()
- {
-
- gdMaze.Background = Brushes.LightGray;
- gdMaze.ShowGridLines = true;
-
- for (int i = 0; i < mazeHeight; i++)
- {
- gdMaze.RowDefinitions.Add(new RowDefinition());
- }
-
- for (int i = 0; i < mazeWidth; i++)
- {
- gdMaze.ColumnDefinitions.Add(new ColumnDefinition());
- }
-
- DisplayMaze();
- }
-
-
- private void MazeTrack(int x, int y)
- {
-
-
- Point p = new Point(x, y);
- path.Push(p);
-
- mazeData[x, y] = 3;
-
-
-
-
-
-
- if (x == exitX && y == exitY)
- {
- string msg = "找到一条道路(逆序)\n";
- tbLog.AppendText(msg);
-
- paths++;
-
-
- foreach (Point pnt in path)
- {
- msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";
- tbLog.AppendText(msg);
- }
- tbLog.AppendText("\n\n");
-
-
- if (bFrist)
- {
- foreach (Point pnt in path)
- {
- bestPath.Push(pnt);
- }
-
- bFrist = false;
- }
- else
- {
-
- if (path.Count < bestPath.Count)
- {
- bestPath.Clear();
- foreach (Point pnt in path)
- {
- bestPath.Push(pnt);
- }
- }
- }
- }
-
-
-
-
- if ((x - 1) >= 0 && mazeData[x - 1, y] == 0)
- {
- MazeTrack(x - 1, y);
- }
-
- if ((x + 1) < mazeHeight && mazeData[x + 1, y] == 0)
- {
- MazeTrack(x + 1, y);
- }
-
- if ((y - 1) >= 0 && mazeData[x, y - 1] == 0)
- {
- MazeTrack(x, y - 1);
- }
-
- if ((y + 1) < mazeWidth && mazeData[x, y + 1] == 0)
- {
- MazeTrack(x, y + 1);
- }
-
-
-
- path.Pop();
- mazeData[x, y] = 0;
-
-
-
- }
-
-
- private void Window_Loaded(object sender, RoutedEventArgs e)
- {
-
- tbMazeHeight.Text = mazeHeight.ToString();
- tbMazeWidth.Text = mazeWidth.ToString();
- tbEnterX.Text = enterX.ToString();
- tbEnterY.Text = enterY.ToString();
- tbExitX.Text = exitX.ToString();
- tbExitY.Text = exitY.ToString();
-
- cbAutoRun.IsChecked = bAutoRun;
- tbAutoRunSpeed.Text = runSpeed.ToString();
-
-
- InitMaze();
- }
-
-
- private void btnStart_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
- {
- string msg = "开始走迷宫\n";
- tbLog.AppendText(msg);
- MazeTrack(enterX, enterY);
-
-
- msg = "\n可行路径总条数为" + paths + "\n最优路径为\n";
- tbLog.AppendText(msg);
-
- foreach (Point pnt in bestPath)
- {
- msg = "(" + pnt.x + "," + pnt.y + ")";
- tbLog.AppendText(msg);
-
- mazeData[pnt.x, pnt.y] = 2;
-
- }
- DisplayMaze();
- }
-
-
- private void btnNext_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
- {
- string msg = "手动开始走迷宫 暂未实现\n";
- tbLog.AppendText(msg);
- }
-
- }
- }
参考文献: 《计算机算法设计与分析》(王晓东)
转载本文请注明作者和出处
作者 :JarvisChu
出处:http://blog.csdn.net/jarvischu