误差分析与建模

导言

现代科学知识是由一系列的模型组成的。模型是建立在若干假设的基础之上的，而假设是根据观测现象做出一些抽象和推理。观测是对某种物理现象的度量，度量（测量）必然伴随着误差的产生。因此，从某种程度上来说，对误差的研究水平决定了科学的发展的水平。

1. 误差分类（从实际问题到问题求解的最终过程来看）

• 模型误差（数学模型与真实模型之间的误差）

实际问题经过抽象、简化而建立的数学模型本身含有误差
（1） 为简化模型忽略次要因素
（2）定理在特定条件下的建立与实际条件有别

• 观测误差（测量值与真实值之间的误差）

数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的。由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制，使数据含有测量误差，这类误差叫做观测误差或测量误差。根据实际情况可以得到误差上下界。 数值方法中需要了解观测误差，以便选择合理的数值方法与之适应。

• 截断误差（近似计算值与精确值之间的误差）

精确公式用近似公式代替时，所产生的误差叫截断误差 。 截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差。

• 舍入误差（有限字长带来的精度损失）

在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算。需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理。 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差，是数值计算中必须考虑的一类误差。

2. 误差分析

模型误差和观测误差被称为初值误差，截断误差被称为方法误差（由计算方法近似产生的误差）

观测误差的来源： 偶然误差、系统误差、粗大误差

举例：
扩频测距系统中，多径效应引起的误差是偶然误差

• 经典测量平差理论主要研究观测误差中的偶然误差的统计特性、传播规律、精度指标及其估计。近代平差理论除了分析偶然误差之外，还研究系统误差和粗大误差引起的观测误差
  For metrology the key problem is to obtain knowledge of physical reality, which
  is considered through a prism of an assemblage of quantity properties describing the objectively realworld. ——come from 《Metrology and Theory of Measurement》

• 数值计算着重研究截断误差差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析

3. 计算机解决实际问题的基本方法

基本方法： 离散、插值、逼近、迭代
实际问题--->数学模型--->计算机程序--->解
建模方法是实际问题和数学模型之间的桥梁
计算方法是数学模型和程序之间的桥梁

4. 建模方法

（1） 机理建模
（2） 实验建模
统计建模

5. 误差检测