[BZOJ1152][CTSC2006]歌唱王国Singleland（KMP + 概率生成函数）

Address

• 洛谷 P4548
• BZOJ 1152

Solution

• 看了 yml 大佬的 IOI2018 国家候选队论文，第一次了解到概率生成函数
• orz YML
• 先介绍一下概率生成函数
• 一个离散型随机变量 $X$ 的概率生成函数为：
• $$F(x)=\sum _{i\ge 0}P(X=i)x^i$$
• 显然有 $F(1)=1$
• 概率生成函数的应用之一就是如果按照上面的定义，则 $X$ 的期望为
• $$F^{\prime }(1)$$
• 方差为
• $$F^{\prime \prime }(1)+F^{\prime }(1)-(F^{\prime }(1){)}^2$$
• 回到原问题，设随机变量 $X$ 表示插入多少个字符之后匹配到模式串，其概率生成函数为 $F(x)$
• $g_i$ 表示插入 $i$ 个字符之后没有匹配到模式串的概率，其一般生成函数为 $G(x)$
• 可以推出两点性质
• $$F(x)+G(x)=xG(x)+1$$
• 解释： $xG(x)+1$ 的第 $i$ （ $i>0$ ）项实际上是表示插入 $i-1$ 个字符后没有匹配成功的概率
• 而插入 $i-1$ 个字符后没有匹配成功，就相当于插入 $i$ 个字符之后匹配成功或失败
• 和 $F(x)+G(x)$ 的第 $i$ （ $i>0$ ）项正好对应
• 而 $F(x)$ 的第 $0$ 项为 $0$ ， $G(x)$ 的第 $0$ 项为 $1$
• $$G(x)\times (\frac{1}{n}x{)}^m=\sum _{i=1}^m{a}_i\times F(x)\times (\frac{1}{n}x{)}^{m-i}$$
• 上面 $n$ 表示字符集大小， $m$ 表示模式串长度， $a_i$ 表示模式串的长度为 $i$ 的前缀和长度为 $i$ 的后缀是否相等（可用 KMP 求出），相等则为 $1$ ，不相等则为 $0$
• 让我们来解释下这个看上去没有实际含义的式子
• 如果我们现在插入了一些字符，但没有匹配成功
• 那么如果把长度为 $m$ 的模式串直接追加在我们已经插入的字符后面，就一定能匹配成功，这对应了等号左边。等号左边多项式 $i+m$ 次项的意义可以看作匹配成功后不结束操作，但需要满足在插入 $i$ 个字符时不能匹配成功，在插入 $i+m$ 个字符时恰好长度为 $m$ 的后缀与模式串匹配成功的概率
• 分析一下等号右边 $i+m$ 次项的含义
• $$\sum _{j=1}^m{a}_{j}P(X=i+j)(\frac{1}{n}{)}^{m-j}$$
• 枚举 $j$ 就相当于枚举第一次匹配成功时已经插入了 $i+j$ 个字符
• 然后还要再插入 $m-j$ 个字符，使得当插入的总字符数达到 $i+m$ 时再次匹配成功
• 这时候就必须满足模式串的长度为 $j$ 的前缀和长度为长度为 $j$ 的后缀相等
• 而 $(\frac{1}{n}{)}^{m-j}$ 就表示接下来插入的 $m-j$ 个字符必须是模式串的后缀
• 解释完毕
• 对 $F(x)+G(x)=xG(x)+1$ 两边同时求导
• $$F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)=x{G}^{\prime }(x)+G(x)$$
• 现在我们要求 $F^{\prime }(1)$ ，由上面得出：
• $$F^{\prime }(1)=G(1)$$
• 于是
• $$F^{\prime }(1)=n^m\sum _{i=1}^m{a}_i\times F(1)\times (\frac{1}{n}{)}^{m-i}$$
• $$=\sum _{i=1}^m{a}_i\times n^i$$
• 所以答案为
• $$\sum _{i=1}^m{a}_i\times n^i$$
• 于是我们就做完了 ，是不是很简单

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

const int N = 1e5 + 5, ZZQ = 1e4;

int n, T, m, pw[N], s[N], nxt[N];

void work()
{
	int i, j = 0, ans = 0;
	m = read();
	For (i, 1, m) s[i] = read();
	For (i, 2, m)
	{
		while (j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
		if (s[j + 1] == s[i]) j++;
		nxt[i] = j;
	}
	i = m;
	while (i) ans = (ans + pw[i]) % ZZQ, i = nxt[i];
	printf("%04d\n", ans);
}

int main()
{
	int i;
	n = read(); T = read();
	pw[0] = 1;
	For (i, 1, 100000) pw[i] = pw[i - 1] * n % ZZQ;
	while (T--) work();
	return 0;
}