前面我们知道对数函数和对数函数的一些基本性质,也许你会问,为什么要引入对数函数?而且还是一个基本初等函数?这就要从logit变换说起。
我们在研究某一结果(y)与一系列因素 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (x_1,x_2,\cdots,x_n) (x1,x2,⋯,xn)之间的关系的时候,最直白的想法是建立因变量和自变量的多元线性关系
y = α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n y=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots +\alpha_nx_n y=α1x1+α2x2+⋯+αnxn
如果结果的刻画是一个数值型的话还可以解释成某因素 x i x_i xi变化了多少导致结果 y y y也变化了多少,如果结果(y)是用来刻画结果是否(0-1)发生?或者更一般的来刻画结果(y)发生的概率(0~1)呢?这时候因素 x i x_i xi变化导致结果(y)的变化恐怕微乎其微。实际生活中,我们知道某些关键因素会直接导致结果的发生,如亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动,也许两周后就会引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。于是,需要让线性关系发生变化,使得因素的变化,结果也会跟着发生很大变化,这时候,人们想到了logit变换
从对数函数图像来看,其在(0,1)之间的因变量的变化是很大的,也就是说自变量的变化会导致因变量的巨大变化,这就符合了微小变动带来巨大变化的效果,于是让因变量取对数,有下面式子
l o g ( y ) = α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n log(y)=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots +\alpha_nx_n log(y)=α1x1+α2x2+⋯+αnxn
虽然上式解决了因变量随因素变化的敏感性问题,同时也约束了y的取值范围为 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty ) (0,+∞)。但是一件事情发生与否,更应该是调和对称的,也就是说一件事发生与不发生有对立性,结果可以走向必然发生(概率为1),也可以走向必然不发生(概率为0),而等式左边的取值范围不仅限于 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty ) (0,+∞),于是,又引进了几率。
几率(odd)是指事件发生的概率与不发生的概率之比,假设事件 A发生的概率为p,不发生的概率为1-p,那么事件A的几率为
o d d ( A ) = p 1 − p odd(A)=\frac{p}{1-p} odd(A)=1−pp
几率恰好反应了某一事件两个对立面,具有很好的对称性,下面我们再来看一下概率和几率的关系
首先,我们看到概率从0.01不断增大到0.99,几率也从0.01随之不断变大到99,两者具有很好的正相关系,我们对p向两端取极限有
lim p → 0 + ( p 1 − p ) = 0 \lim\limits _ {p \to 0^+}(\frac{p}{1-p})=0 p→0+lim(1−pp)=0
lim p → 1 − ( p 1 − p ) = + ∞ \lim\limits _ {p \to 1^-}(\frac{p}{1-p})=+\infty p→1−lim(1−pp)=+∞
于是,几率的取值范围就在 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞),这符合我们之前的假设。
正因为概率和几率有如此密切对等的关系,于是想能不能用几率来代替概率,这样既能满足因素对结果的敏感性,又能满足对称性 ,便有了下面式子
l o g ( p 1 − p ) = α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n log(\frac{p}{1-p}) = \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots +\alpha_nx_n log(1−pp)=α1x1+α2x2+⋯+αnxn
现在,我们稍微改一改,让等式左边对数变成自然对数ln,等式右边改成向量乘积形式,便有
l n ( p 1 − p ) = α X ln(\frac{p}{1-p})=\alpha X ln(1−pp)=αX
其中 α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) α=(α1,α2,⋯,αn), X = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T X=(x1,x2,⋯,xn)T。
我们解得
p = e α X 1 + e α X p=\frac{e^{\alpha X}} {1+ e^{\alpha X}} p=1+eαXeαX
这就是我们常见的logistic模型,图像如下
我们看到logistic函数图像是一条S型曲线,又名sigmoid曲线,以(0,0.5)为堆成中心,曲线在中心位置变化速度最快,在两端的变化速率较慢。
参考文献
1,对数函数
2,python绘制对数函数
3,如何理解logistic函数
4,logit究竟是个啥?