正多胞体空间

正多胞体定义：

它是一个四维空间上的多胞形(Polytope,点、线段、多边形、多面体，以及更高维度的几何物体的总称)
多胞体表面(Facet)由有限个正多面体组成，每个顶点情况相同
专业点说，就是每一个顶点图(Vertex figure)都是正多面体
简单而言，就是正多胞体中每一条棱外一点旋转一圈，都会穿过相等数目的面（或体）

 

一个关于正多面体二面角的列表
考虑到正多胞体里正多面体必须是有限个的，因此一条棱上的几个面的相邻夹角总和（棱上所有多面体的二面角之和）必须小于360度
60°≤70.53°<72°，可知由正四面体组成的正多胞体有三个，分别是每条棱上有三个、四个和五个正四面体，分别对应施莱夫利符号{3,3,3}、{3,3,4}、{3,3,5}
90°≤90°<120°，可知由立方体组成的正多胞体有一个，它的每条棱上有三个立方体，对应施莱夫利符号{4,3,3}
90°≤109.47°<120°，可知由正八面体组成的正多胞体有一个，它的每条棱上有三个正八面体，对应施莱夫利符号{3,4,3}
90°≤116.57°<120°，可知由正十二面体组成的正多胞体有一个，它的每条棱上有三个正十二面体，对应施莱夫利符号{5,3,3}
120°≤138.19°，可知不存在由正十二面体组成的正多胞体
综上可得正多胞体一共有6个：{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Pentachoron
正五胞体(5-cell)，又作正四面体锥(hyperpyramid)，4-单形（4-simplex）
其施莱夫利符号是{3,3,3}，顶点图(Vertex figure)是正四面体，在正五胞体中每条棱上有三个正四面体
一般而言，它是正四面体的四维类比
下图是它的施莱格尔（透视）三维投影图，下同：

 
及球极投影图，下同：

 
正多胞体里的多面体数（还有顶点数、棱数、面数）都是根据这两个图“数”出来的
正四面体胞：5，正三角形面：10，棱数：10，顶点数：5
平行投影图（二次平行投影，由四维通过平行投影至三维，再由三维平行投影至二维）

 
所有正多胞体中最简单的了，作一个正五边形，让五个点两两连线即可

一个正五胞体的旋转图：

 

 

以上大部分内容来自wiki，剩余语句靠自己组织，表达能力不好，请见谅
Tesseract
把一个正方形向第三方向（向上）推移就得到一个立方体，同样把一个立方体向第四方向推移，就会得到一个超立方体
超立方体，又作正八胞体(8-cell,Regular octachoron)，立方体柱(Cubic prism)，4-4边形柱(4-4 duoprism)
另：“超立方体”的英文是Tesseract而不是Hypercube，Hypercube在wiki上是指N维立方体（一维的线段，二维的正方形，三维的立方体……）的总称
Tesseract，立方体胞：8，正方形面：24，棱数：32，顶点数：16
它的施莱夫利符号有几个{4,3,3}(特指它是正多胞体Tesseract);{4,3}x{}（代指Cubic prism）;{4}x{4}(4-4 duoprism);{4}x{}x{}（代指Square prismatic prism）;{}x{}x{}x{}（代指Line segmentary prismatic prismatic prism，这个……）。顶点图是正四面体，在超立方体中每条棱上有三个立方体
不用说，它就是立方体的四维类比

 

 

 
像立方体6个面展开一样，超立方体的展开图：

 
平行投影：

 
在平面上画四根轴，其中相邻轴的夹角为45度(每根轴的单位长度相等)，再在平面上标出超立方体的十六个顶点(±0.5,±0.5,±0.5,±0.5)，然后连线（表达很繁琐，过程很简单）
超立方体的旋转图wiki上有很多，个人觉得下面这个最好

 

 Hexadecachoron
将一个正方形不相邻的两点连线，得到一个正二边形(Demisquare)；将一个立方体两两不相邻的四个点沿各自的面连线(Demicube)，得到一个正四面体；同样地，将一个超立方体两两不相邻的八个点沿各自的面连线后，正好会得到它的对偶——正16胞体
它穿过我们空间的时候我们会看见一个又零开始匀速增大的正八面体，一段时间后又以相同的速度缩小，直到消失，这便得到一个正16胞体
正十六胞体(16-cell)，又作正四面体反棱柱(Tetrahedron antiprism)、
又作Tetracross（四维交叉多胞形(?)，日文“4-正轴体”，没有中文翻译）、
又作4-orthoplex（也没有中文翻译，一个N维的orthoplex和cross都指代同一个多胞体，但意义不同）、
又作Demitesseract（照样没有中文翻译，指代第一段超立方体上连线得到的东东，暂时称为半截超立方体）
16-cell，正四面体胞：16，正三角形面：32，棱数：24，顶点数：8（因为是超立方体的对偶，所以它的数据刚好是反过来的）
它的施莱夫利符号也有几个，{3,3,4}（特指它是正多胞体16-cell）；（特指它是orthoplex，代指Demitesseract）；h{4,3,3}（alternated[*] tesseract）等等
其顶点图是正八面体，正16胞体每条棱上有4个正四面体
16-cell可以通过两种类比方法得到，一种是正八面体的四维类比（正八面体是立方体对偶，顶点为(±1,0,0) 的全排列；而16-cell是超立方体对偶，顶点为(±1,0,0,0) 的全排列），另一种是正四面体的四维类比（上面第一段，正四面体是半截立方体，这不是一个正多胞形的类比方法）
另外，由于正16胞体的二胞夹角为2arctan√3=120°=360°÷3，因此单用正16胞体可以组成一个四维堆砌（相当于二维的均匀镶嵌tiling、三维的均匀堆砌honeycomb）施莱夫利符号{3,3,4,3}，每个二维的面上有3个正16胞体

 

 
平行投影：

 同超立方体一样的方法，画四条轴，标上 (±1,0,0,0)、(0,±1,0,0) 、(0,0,±1,0) 、(0,0,0,±1)八个顶点在连线（作法比超立方体简单多了） 
最后是旋转图

*Alternation：n. 交替,轮流,间隔
几何学中，当一个半正多面体的每个面的边数都是偶数时，可以在它的每一个面上隔一点连一条线，整理得到一个新的半正多面体，这就是Alternation（没有中文翻译滴叫它“半截”好了）
附图：大斜方截半立方体通过Alternation变成扭棱立方体

 

 Icositetrachoron
正二十四胞体(24-cell)，有时又作复正八面体(octahedral complex)，是唯一一个没有三位类比的正多胞体
24-cell，正八面体胞：24，正三角形面：96，棱数：96，顶点数：24（注意到胞数和顶点数，面数和棱数也相等——与正五胞体一样，它也是自身对偶的）
它的施莱夫利符号也有几个，{3,4,3}（特指它是正多胞体24-cell）；（特指它由16-cell截角得到，代指Rectified 16-cell）；（特指它由Demitesseract截角得到，代指Rectified demitesseract）
其顶点图是立方体，正24胞体每条棱上有3个正八面体
一般而言正方形是24-cell的二维类比，根据它们的施莱夫利符号推算（略）知道，一定意义上它是截半立方体（半正多面体）或菱形十二面体（卡塔兰立体，半正多面体的对偶）
另外，由于正24胞体的二胞夹角也是120°（推导过程不详），因此单用正24胞体也可以组成一个四维堆砌，施莱夫利符号{3,4,3,3}，是{3,3,4,3}。每个二维的面上有3个正24胞体

 

 
（带投影面）

 
平行投影（作法不详）：

 

 
一种没有线条重合的二维投影（非正多边形外框）

 
旋转图：

一个24-cell穿过三维空间（太快了，我也没看懂）

 

Hecatonicosachoron
（最复杂，也是最解说不能的两个来了）
正一百二十胞体(120-cell)，又作复正十二面体(Dodecaplex=Dodecahedral complex)，超正十二面体(Hyperdodecahedron)
120-cell，正十二面体胞：120，正五边形面：720，棱数：1200，顶点数：600
其施莱夫利符号是{5,3,3}，顶点图是正四面体，在正120胞体中每条棱上有三个正十二面体
一般而言，它是正十二面体的四维类比
另外，由于正120胞体和正600胞体的二胞夹角太大（推导过程不详，我只知道大于120°），因此它们是没办法向更高维度继续类比的，正120胞体的五维类比是一个坐落在四维的双曲堆砌(Hyperbolic honeycomb in 4 dimension)，每个面上有三个正120胞体
再另外，根据120-cell的600个顶点重新连线“连面”可以得到十个星形正多胞体的其中一个（Great grand stellated 120-cell）

 

 
（带投影面）

 
平面投影（作法：小的连中等数学都没学完，你问我我问谁）：

 Hexacosichoron
正六百胞体(600-cell)，又作复正四面体(Tetraplex=Tetrahedral complex)，超正二十面体(Hyper-icosahedron)
600-cell，正四面体胞：600，正三角形面：1200，棱数：720，顶点数：120
正600胞体与正120胞体互为对偶,其施莱夫利符号是{3,3,5}，顶点图是正二十面体，在600-cell中每条棱上有五个正四面体
一般而言，它是正二十面体的四维类比
另外，正600胞体的五维类比也是四维的双曲堆砌，施莱夫利符号是{3,3,3,5},与正120胞体的五维类比{5,3,3,3}对偶，它每个面上有五个正五胞体
再另外，根据600-cell的顶点重新连线“连面”可以得到十个星形正多胞体的另外九个（见下一楼）
这是一个vertex-centered的施莱格尔投影，就是说这个家伙看600-cell眼睛是正对着一个顶点，而不是向前几幅图那样正对着一个多面体胞的——其实这个vertex-centered投影如果放在球极投影上这个家伙看着的顶点就该处于无限远了，而在这里这个顶点则很不厚道地放在三维投影的中心

 

 
（做法同上一楼）

 
Schl?fli–Hess polychoron
在路德维希·施莱夫利发现六个正多胞体过了一段时间之后，他又和埃德蒙·埃斯研究最终发现了10个四维的星形正多胞体
wiki上对这些讲的很少，上面的三维投影也看不见“内部”情况，在这里我只贴一张截图(点击查看大图)

 
相关链接：
http://tieba.baidu.com/f?kz=677681292 5L（教学贴，不懂可以先看前几楼的视频）
http://jandan.net/2008/02/19/jenn3d.html（wiki的带面球极投影即来源于这个软件）
http://hi.baidu.com/atyuwen/blog/item/169c9da795356792d14358a2.html（有正多胞体的坐标，还有有个屏保，好东西）
想获取更多相关资料请英文wiki之



施莱夫利符号(Schl?fli symbol)
“数学中，施莱夫利符号是一个可以表示一特定正多胞体若干重要特性的符号。其命名是为了纪念19世纪数学家路德维希·施莱夫利在几何和其他领域的许多重要贡献。
“一个有n个边的多边形，其施莱夫利符号为{n}。例如，施莱夫利符号为{5}的多边形即为五边形。
“正多面体的施莱夫利符号计做{p,q}，其中p代表每个面的顶点数，而q代表每个顶点和几个面相连”
——摘自中文wiki（居然只是很不厚道地摘取最简单的，四维以后的却没有写进去）
在正多面体{p,q}中，p可以说是表示每个面是正p边形，q可以说是表示每个顶点的情况，也表示顶点图是正q边形
如正十二面体的施莱夫利符号是{5,3}，表示立方体的表面由正【5】边形构成，围绕任意一个点转一圈会划过【3】个正5边形（每个顶点和【4】个面相连）
在四维空间中，一个正多胞体用符号{p,q,r}表示。
其中{p,q}表示组成这个正多胞体三维表面(Facet)，当然{p,q}是正多面体；{q,r}表示每个顶点的情况，即顶点图(Vertex Figure)**；{r}是Edge Figure，表示每条棱的情况，与三维一样类比过来，简单地说r表示的是每条棱与多少个三维胞相连
如超立方体的施莱夫利符号是{4,3,3}，表示它的表面由立方体{4,3}构成，它的顶点图是正四面体{3,3}，每条棱与（第二个）【3】个立方体相连
在更高维的空间里，可以通过四维空间的施莱夫利符号的表示意义进行类比
一个n维空间的正多胞形(Regular n-polytope)用施莱夫利符号{p1,p2,...,pn-2,pn?1}表示，其中{p1,p2,...,pn?2}表示构成它的n-1维正多胞形；而{p2,p3,...,pn?1}则表示它的顶点图
事实上五维以及更高的维度中，每个维只有三个正多胞形，分别是
n-单形(n-simplex):{3,3,...,3}，缩写{3^n-1}（符号中有n-1个3，下同）
n-正方体(n-cube):{4,3,3,...,3}，缩写{4,3^n-2}，n-cross对偶
n-正轴体(n-cross)（其实这个没有中文翻译，名字来自日语）:{3,3,...,3,4}，缩写{3^n-2,4}（虽然n-cross和n-orthoplex指同一个东西，但是其表示的施莱夫利符号不同，这个可能以后会说）
以上就是关于施莱夫利符号的部分介绍，如分岔形式 、以及那个神秘的tn，先放一会儿吧

**顶点图：
顶点图(Vertex Figure)，是一个多胞形的属性之一，用来表示一个多胞形上每个顶点的情况，一个多边形的顶点图是一根线段（这个其实意义不大），一个多面体的顶点图是一个多边形，一个多胞体的顶点图是一个多面体，如此类推。
一个n维的正多胞形的顶点图是一个n-1维的正多胞形（一定是正的，反之亦然）
在一个正多面体{p,q}中，{q}就是它的顶点图；在一个正多胞体{p,q,r}中，正多面体{q,r}就是它的顶点图，{r}是它的棱图(Edge Figure)
一个多胞形上的一个顶点常由很多条棱很多面组成，一个多胞形对应N条棱，那它的顶点图的顶点数就是N，同理一个多胞形对应M个面，那它的顶点图的棱数就是M。
选定其中一个顶点，沿着对应的N条棱到达棱的另一端就会得到顶点图的这N个顶点，这N个顶点沿着它们各自的面上相互连线，就得到这个顶点图的M条棱，再用这M条棱沿着它们各自的胞上相互“连面”（这个好像有点复杂，我也表达不明白）……一直下去，直到完成
得到一个顶点图的过程其实不难，但是我的表达不好的缘故会显得很复杂
如图，一个正三棱柱的一个点上有3条棱3个面，所以它的顶点图是三角形（3个点3条边）——一个底长1腰长根号2的等腰三角形

 

如图，超立方体的顶点图——仅点和棱，没有画上面

 
观察可知，一个超立方体的每个顶点上有4条棱，6个面，4个立方体胞，从一个顶点的4条棱延伸去（蓝线）得到超立方体上的4个点（红点），沿各自的面连线（绿线）——这样就求出超立方体的顶点图是正四面体
一个立方体堆砌（cubic honeycomb），施莱夫利符号{4,3,4}，它的顶点图是正八面体{3,4}

 
得到顶点图后，再用同样的方法求出顶点图的顶点图——个人叫做“二次顶点图”。得到的“二次顶点图”就是刚才的多胞形的Edge Figure（棱图）
如超立方体的顶点图是正四面体，一个正四面体的顶点图是正三角形，因此超立方体的棱图就是正三角形
用Vertex Figure得到Edge Figure，继续下去还会得到Fact Figure、Cell Figure……但是它们的使用意义远远不如Vertex Figure大
有些多面体没得顶点的情况不尽相同，如卡塔兰立体、约翰逊多面体（务必wiki之）等，这种多面体会有两种甚至多种不同的顶点图，一些特殊的多胞体顶点图就会有这种情况（这些多胞体拥有几个棱图）
数学家对半正多面体的定义是由不同的正多边形组成，且每个顶点情况相同（也是说只有一个顶点图）
而到了定义半正多胞体的时候，说它们由正多面体或者半正多面体组成之外，没有像定义正多胞体那样说“每条棱的情况相同”，取而代之的仍然是“每个顶点情况相同”（每条棱的情况相同的半正多胞体不多，体现不出高维的复杂性*.*）

 

前几天才找到的十个星形正多胞体的截面动画
http://davidf.faricy.net/polyhedra/Star_Polychora.html
Cross-sectional Animation下面的链接就是它们穿过三维空间时我们看到它的样子，可谓很复杂很复杂
看完如果能有所理解的人，可谓神人了

资料来自：http://davidf.faricy.net/polyhedra/Polytopes.html
注：二胞角英文Dichoral Angle本身也是根据英语构词法自造的，不知道为什么这个东东在英文wiki上是找不到的（点击看大图）

有了二胞角证明（或者说“求”）高维的正多胞形（不是正多胞体）就简单很多了
72°≤75.52°<90°，可知由正五胞体组成的5-正多胞形有两个，分别是每个面上有三个和四个正五胞体，分别对应施莱夫利符号{3,3,3,3}和{3,3,3,4}
90°≤90°<120°，可知由超正方体组成的5-正多胞形有一个，它的每个面上有三个超正方体，对应施莱夫利符号{4,3,3,3}
120°≤120°<144°<164.48°，可知由16-cell、24-cell、120-cell或600-cell组成的5-正多胞形都不存在
因而只有三个五维的正多胞形——应该说从五维开始，正多胞形开始简单化了
继续看Ditopal Angle，从五维以及更高维上看，
即当n≥5时
对于n-simplex，72°≤arccos1/n<90°恒成立，
对于n-cube，90°≤90°<120°恒成立，
对于n-cross，120°≤2arccos1/√n 恒成立，
因此n-simplex组成的高一维的正多胞形仍然有两个，n-cube组成的仍然有一个，n-cross组成的仍然不存在
钻一下牛角尖的说，如果维数达到无限的时候，arccos1/∞=90°，
如果这样说那由∞-simplex组成的再高一维的正多胞形(∞+1)-cross就不存在了，
但是∞-cube的Ditopal Angle仍然是90°，(∞+1)-cube仍然存在，这样说作为它的对偶(∞+1)-cross又有了存在的必要性
这样看两句话就矛盾了……

正多胞体的事我想就已经讲完了，不过关于Polytope这还仅仅是一小部分
正多胞形(regular polytopes)分为Convex regular（正多边形、正多面体、正多胞体和下面的这三类）、Nonconvex regular（星形，五角星啊这些），
以及Convex Euclidean tessellations（欧氏正镶嵌，例如地板上正方形瓷砖无限平铺这样填满整个平坦空间这类）、Convex hyperbolic tessellations（双曲正镶嵌，以后再说）、Nonconvex hyperbolic tessellations（双曲星形正镶嵌，我也不是很懂，星形没有欧氏正镶嵌的，因为镶嵌出来多面体密度为无限）
还有Abstract Polytopes（拓扑多胞形，抽象多胞形，例如可以画在球面上但实际上0厚度的多面体Trigonal dihedron、还有画在环面上Hemicube这些我更不明白的东西）
英文wiki百科有介绍的，找List of regular polytopes即可
接上一楼，
五维以及更高各自仅有三个正多胞形，于是乎就被数学家人为地分成三类（上图有）：
Simplex，单形，指所有施莱夫利符号为{3,3,...,3}的正多胞形
Hypercube，立方形，指所有施莱夫利符号为{4,3,3,...,3}的正多胞形
Hypercross(或作Orthoplex)，正轴形（翻译自日文），指所有施莱夫利符号为{3,3,...,3,4}的正多胞形
从零维（负一维不知道算不算）到无穷维，每个维度都有它们三者参与的

啊啊啊，度娘一句话不说就吞我贴，记录都不留！！！——算了，重新写一遍吧。
下面讲一下三大类正多胞形，Simplex、Hypercross和Hypercube，对应考克斯特群(Coxeter Group)分别是An、Bn和Cn（这个以后再说）
Simplex
三个不在同一直线的点可以确定一个平面，四个不共面的点可以确定一个立体空间（任意三点不共线），同理可得五个不在同一立体空间的点可以确定一个四维空间（任意三点不共线，四点不共面），同样用六点、七点、八点可以确定一个五维空间、六维空间、七维空间……这种刚好确定一个N维空间的N+1个点构成多胞形就叫单形，三角形四面体五胞体这些都属于单形，当然它们不一定是“正”的。
单形(Simplex)，英文又作Simplexes或Simplices，看上去是Simple和Complex的混合，字面意思大概是简单的复杂(Simplicial Complex，*.*)，说白点就是复杂空间（高维空间）的简单的东东——可以说，一个单形的确是该空间中构造最简单的东西。其中正单形代表考克斯特群An群
如果一个n维单形的所有棱长相同或者其中的j(2 向低维类比，二维单形是三角形，那么类比可得一维单形是线段（不过线段未必是指一维单形，它也可以指代“一维立方体”），零维单形是点（同样点未必指代零维单形的）
零维到无穷维，如果限定棱长，那每个维度上有且只有一个正单形，这和Hypercube、Hypercross一样，都是有且只有一个的，不过与之不用的是，正单形必定是自身对偶的，同时自2维始单形一定不是中心对称的。
另外，这个“单形”可不是百度百科上的“晶体单形”，很多网站和网友（包括视频“教你认识四维空间”）所说的单形指的是四维的单形——五胞体，这里需要指正一下。单形应该是一个大集合。
下图是前二十维正单形的二维投影，可以知道它的构造极其简单，每个点两两连线即可得出它的线架图。大图， http://hi.baidu.com/%B1%B3%C5%D1%D5%DFyo_leiton/album/Petrie%20Polygon或者英文wiki之

下面是一组单形的数据，从左到右依次是该单形的顶点数、棱数、（三角形）面数、（四面体）胞数、超胞（四维面）数、五维面数……
0-simplex：   1
1-simplex：   2   1
2-simplex：   3   3    1
3-simplex：   4   6    4    1
4-simplex：   5 10   10    5    1
5-simplex：   6 15   20   15    6    1
6-simplex：   7 21   35   35   21    7    1
7-simplex：   8 28   56   70   56   28    8    1
8-simplex：   9 36   84 126 126   84   36    9   1
9-simplex： 10 45 120 210 252 210 120   45 10 1
10-simplex：11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
似曾相识吧，这个数列就是杨辉三角，不过最左边少了一行1（其实这样“1”是存在的，属于负一维产物）
正单形的坐标很难算（详细坐标英文wiki之），不过如果把它放到高一维的话会简单很多，例如把一个正三角形放到三维，则它的三点坐标可以是(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)，同样地一个正四面体放到四维后四个顶点可以是(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)如此类推。

Hypercube
将一个点沿一个方向推移，得到一根线段；
将一根线段向垂直方向推移相同距离，得到一个正方形；
将正方形沿垂直于它自身的方向推移相同距离，得到一个立方体
将立方体沿垂直于它自身的方向推移相同距离，得到一个超正方体……
每一步得到的东西集合在一起，就是Hypercube，个人译作“正立方形”，代表考克斯特群Cn群
可以说，想象立方形向高维类比的过程要比想象单形要简单得多（个人觉得是，毕竟我们见过的立方体总比正四面体要多）
Hypercube的特殊性在于，它的每一个角，不管是正方形夹角，还是立方体的二面角，甚至是超正方体里两个立方体之间的夹角等等，通通都是90°，也就是说，单用一种正立方形就能填满该（平坦）空间(Hypercube regular tessellation)——如正方形镶嵌填满平面(Square tiling)，立方体堆砌满一个平坦立体空间(Cubic honeycomb)
前十维正立方形二维投影以及数据，各个立方形的二维投影大图楼上连接有

 
可以看出，越到高维正立方形的线架投影越复杂，实际上在高维立方形算简单的了，一个十维只有20个九维立方形表面。
立方形的坐标很简单，一个n维立方体(n-cube)的2^n个点坐标可以是(±1, ±1,…, ±1)（n个±1）
（比不上Simplex，这楼要说的确实不多）

Hypercross
从无开始出现一根匀速变长的线段，之后又用同样的速度缩段知道没有，如果推移的时间“长度”与最长线段的长度一样，那就得到一个正方形
用上面的方法出现一个先变大后变小的正方形，这样就得到一个正八面体（大家看看正八面体穿过平面的截面是不是这样的？）
用上面的方法出现一个先变大后变小的正八面体，就会得到一个正十六胞体……
每一步得到的东西集合在一起，就是Hypercorss，Orthoplex也是指这类东西，但指代意义有所不同。
Hypercross，个人译作“正轴形”（翻译自日文），英文wiki上写的是“Cross-polytope”，考虑到它与Hypercube是相互对偶的，因此我用Hypercross代替之，它代表的是考克斯特群Bn群（不明白为什么它会排在Hypercube前面，天知道他老人家是怎么排序的）
一般说来，要认识一个正轴形用截面观察法要比投影观察法要好（个人观点），下图是前十维正轴形而为投影仪及数据（点击大图）

 
因为正轴形与正立方形是对偶的，所以正轴形的二维投影是看上去很简单实际构造很复杂的，它的表面随维度增加成指数增长的，一个10维的正轴形有1024个表面！
正轴形的坐标也算是很简单的了，是所有形如(±1,0,0,……,0)的点，即(±1,0,0,……,0)，(0,±1,0,……,0)，(0,0,±1,……,0)，……，(0,0,0,……,±1)。值得一提的是在一个n-cross中，把每两个中心对称的点连起线（共n条线），就会得到n条两两垂直的线——这也正好得到了一个高维坐标系，因而得名“正轴形”
另外注意到图中一个正轴形有两种不同的施莱夫利符号和Coxeter-Dynkin Diagram（考克斯特-丹金图）
n-cross（也就是“正轴形”）对应的C-D Diagram是线段形，应该是特质这个n-cross是正多胞形（所谓的“线段形”基本上都是指代这个）
而n-orthoplex（Orthoplex真的不知道怎么翻译，找不到关于这个的资料）对应的C-D Diagram是分岔形，指代什么也很模糊，个人觉得它应该是指代一个有上下底面之分的反棱柱（antiprism，一种三维特有的半正多面体，高维上几乎不存在）——其中一个n维orthoplex的“底面”都是一个n-1维的simplex

 

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