通过位运算来解决一些算法题

在刷pat的1073 多选题常见计分法题目时，发现如果需要判断每一个学生对应每道题的多选题是否错选，漏选，以及选对是比较麻烦的一件事，因为这涉及到两个集合的判断，判断一个集合是否是另一个集合的子集（即漏选，得一半的分），或者说两个集合是否完全相等（即题目得满分）。

刚开始通过set容器来保存每一道题的正确答案，以及学生选择的答案，然后比较两个集合的大小，大小一致则for循环判断每一个元素是否都存在。结果发现这种思路过于复杂，且易超时。

联想到每一个选项是否一致，可以通过异或运算判断两个集合，如果结果为0则得满分，否则就是错选或者漏选，错选漏选通过或运算来判断是否能够得到正确集合，如果可以则是漏选，如果不能则说明是错选。

在完整的实现这道题之前，先来学习一下位运算的基础。

1.常见的位运算

常见的位运算有6个，见如下表格：

Operators	Meaning of operators
&	Bitwise AND，按位与
|	Bitwise OR，按位或
^	Bitwise XOR，按位异或
~	Bitwise complement，按位取反
<<	Shift left，左移
>>	Shift right，右移

1.1按位与

运算举例，对12和25进行按位与操作：

12 = 00001100 (In Binary)
25 = 00011001 (In Binary)

Bit Operation of 12 and 25
  00001100
& 00011001
  ________
  00001000  = 8 (In decimal)

当且仅当，两个二进制位都为1时，结果才为1

代码举例：

#include 
int main()
{
    int a = 12, b = 25;
    printf("Output = %d", a&b);
    return 0;
}

Output:

Output = 8

1.2按位或

运算举例，对12和25进行按位或操作：

12 = 00001100 (In Binary)
25 = 00011001 (In Binary)

Bitwise OR Operation of 12 and 25
  00001100
| 00011001
  ________
  00011101  = 29 (In decimal)

当且仅当，两个二进制位都为0时，结果才为0，其它情况都为1

代码举例：

#include 
int main()
{
    int a = 12, b = 25;
    printf("Output = %d", a|b);
    return 0;
}

Output:

Output = 29

1.3按位异或

运算举例，对12和25进行按位异或操作：

12 = 00001100 (In Binary)
25 = 00011001 (In Binary)

Bitwise XOR Operation of 12 and 25
  00001100
^ 00011001
  ________
  00010101  = 21 (In decimal)

当且仅当，两个二进制位相异时，结果才为1，其它情况都为0

代码举例：

#include 
int main()
{
    int a = 12, b = 25;
    printf("Output = %d", a^b);
    return 0;
}

Output:

Output = 21

对于异或运算的理解

• 找出两个数有差异的位，a^b得到的结果中，1表示在该位两数存在差别，0表示无差别，这个很好理解
• 将一个数按照另一个数的对应位的取值改变取值，如a^b(1000101000110011)，可以看成a按照b的要求改变对应位的取值（1为改变，0为不改变）故得到10111001

1.4按位取反

运算举例，对35进行按位取反操作：

35 = 00100011 (In Binary)

Bitwise complement Operation of 35
~ 00100011 
  ________
  11011100  = 220 (In decimal)

代码举例：

#include 
int main()
{
    printf("Output = %d\n",~35);
    printf("Output = %d\n",~-12);
    return 0;
}

Output:

Output = -36
Output = 11

为什么这里35按位取反的结果不是220，而是-36。

对于任何整数n，n的按位取反将为-（n + 1）。要了解这一点，需要了解二进制的补码表示

 十进制          二进制              二进制补码
   0            00000000           -(11111111+1) = -00000000 = -0(decimal)
   1            00000001           -(11111110+1) = -11111111 = -256(decimal)
   12           00001100           -(11110011+1) = -11110100 = -244(decimal)
   220          11011100           -(00100011+1) = -00100100 = -36(decimal)

35的按位补码为220（十进制）。 220的2的补码是-36。因此，输出是-36而不是220。

1.5移位运算

1.左移

可以简单理解为*2，对比十进制中的左移，比如10进制的13左移1位得到130，所以

二进制中的13左移1位得到26

左移n位，结果就是乘以2的n次方

1101
<<1
11010
十进制为26    

2.右移

类比左移，右移就是除以2

代码举例：

#include 
int main()
{
    int num=212, i;
    for (i=0; i<=2; ++i)
        printf("Right shift by %d: %d\n", i, num>>i);
     printf("\n");
     for (i=0; i<=2; ++i) 
        printf("Left shift by %d: %d\n", i, num<<i);    
    
     return 0;
}

Output

Right Shift by 0: 212
Right Shift by 1: 106
Right Shift by 2: 53

Left Shift by 0: 212
Left Shift by 1: 424
Left Shift by 2: 848

2.解题思路

对于每一个选项，我都可以通过二进制来表示出来，比如

a--00001
b--00010
c--00100
d--01000
e--10000
//因为选项个数在[2,5]区间，所以最大选项就是e

这样的话，通过两个集合（集合A={所有的正确选项的二进制表示的或运算结果}，集合B={所有学生的选项的二进制表示的或运算结果}）

比如

A=10001，即正确的选项为ae

B=10000，即学生的选项为e

第一步对A和B进行异或运算，

• 如果结果为0，说明满分

• 如果结果不为0，说明存在选项不一致，可能漏选，可能错选

第二步对A和B进行或运算，

• 如果结果为A，说明B就是漏选的，得分50%
• 否则就是有错选，不得分

第三步对A和B的异或结果和{1,2,4,8,16}集合中的元素分别进行与运算，判断当前题目，学生选错的选项是哪一个

比如：正确选项是10011，学生的答案是01100，异或结果为11111，对异或结果11111和1，2，4，8，16分别进行与运算，比如11111&00001结果不为零，则说明该选项是错误的，以此类推，循环进行与运算，得出学生选择的选项都是错误的。正确的选项都没有选，所以也记为错选选项。

通过异或运算和或运算以及与运算来判断全选对，漏选，错选以及对应的错误选项就简单多了

3.代码实现

#include
#include
using namespace std;
int main() {
	//1.保存所有的题目信息
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	//a=00001=1
	//b=00010=2
	//c=00100=4
	//d=01000=8
	//e=10000=16
	int hash[5] = {1,2,4,8,16} , trueopt[m]= {0};

	int fullscore[m];
	//1.记录每道题的总分到fullscore数组，每道题的正确选项到trueopt
	for(int i=0; i<m; i++) {
		int tmpscore,tmpalloptsize,tmprightoptsize;
		scanf("%d%d%d",&tmpscore,&tmpalloptsize,&tmprightoptsize);
		fullscore[i] = tmpscore;
		for(int j=0; j<tmprightoptsize; j++) {
			char tmpopt;
			scanf(" %c",&tmpopt);
			trueopt[i] +=hash[tmpopt-'a'];
		}
	}
	//记录每道题每个选项的出错次数
	vector<vector<int>> cnt(m,vector<int>(5));
	//2.计算每个学生的分数，并保存错误选项出错次数到cnt中
	for(int i=0; i<n; i++) {
		double stuscore = 0;
		for(int j=0; j<m; j++) {
			getchar();
			int k;
			scanf("(%d",&k);
			int selectedopt = 0;
			for(int o=0; o<k; o++) {
				char tmpc;
				scanf(" %c",&tmpc);
				selectedopt+=hash[tmpc-'a'];
			}
			scanf(")");
			//计算异或结果
			int result = selectedopt^trueopt[j];
			if(result) {
				//不为零，有漏选或错选，进行或运算
				int huo = selectedopt|trueopt[j];
				if(huo == trueopt[j]) {
					//漏选
					stuscore += fullscore[j]*1.0/2;
				}
				if(result) {
					//错选,不得分，记录错误选项
					for (int k = 0; k < 5; k++)
						if (result & hash[k]) cnt[j][k]++;
				}
			} else {
				//满分
				stuscore += fullscore[j];
			}
		}
		printf("%.1f\n",stuscore);
	}
	//循环遍历cnt错误选项最多的
	int maxcnt =0;
	for(int i=0; i<m; i++) {
		for(int j=0; j<cnt[i].size(); j++) {
			maxcnt = cnt[i][j]>maxcnt?cnt[i][j]:maxcnt;
		}
	}
	if (maxcnt == 0) {
		printf("Too simple\n");
	} else {
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			for (int j = 0; j < cnt[i].size(); j++) {
				if (maxcnt == cnt[i][j])
					printf("%d %d-%c\n", maxcnt, i+1, 'a'+j);
			}
		}
	}
	return 0;
}