R语言与回归分析计算实例

6.1.7 计算实例

这里用Forbes数据为例，全面展示一元回归模型的计算过程。

例 6.5 Forbes数据

在十九世纪四、五十年代，苏格兰物理学家James D. Forbes，试图通过水的沸点来估计海拔高度。他知道通过气压计测得的大气压可用于得到海拔高度，高度越高，气压越低。在这里讨论的实验中，他研究了气压和沸点之间的关系。由于在当时，运输精密的气压计相当困难，这引起了他研究此问题的兴趣。测量沸点将给旅行者提供一个快速估计高度的方法。

Forbes在阿尔卑斯山及苏格兰收集数据。选定地点后，他组装仪器，测量气压及沸点。气压单位采用水银柱高度，并根据测量时周围气温与标准气温之间的差异校准气压。沸点用华氏温度表示。我们从他1857年的论文中选取了n=17个地方的数据，见表6.2所示。在研究这些数据时，有若干可能引起兴趣的问题，气压及沸点是如何联系的？这种关系是强是弱？我们能否根据气温预测气压？如果能，有效性如何？

分析过程

Forbes的理论认为，在观测值范围内，沸点和气压值的对数成一条直线。由此，取10作为对数的底数。事实上，统计分析与对数的底是没有关系的。由于气压的对数值变化不大，最小值为1.318，而最大值为1.478，因此将所有气压的对数值乘以100，如表6.2中第5列所示。这将不改变分析的主要性质的同时，避免研究非常小的数字。

求解过程

着手进行回复分析的一个有效途径是，画一个变量对另一个变量的散点图，它既能用于提示某种关系，也能用于说明这种关系可能是不适当的。在散点图中，X轴为自变量，这里是Forbes数据中的沸点，Y轴为响应变量，这里为100xlog（气压）。

输入数据，画出散点图（程序exam0804.R）

Forbes数据的散点图的总体印象是：这些点基本上，但不精确地，落在一条直线上。做回归分析：

由计算结果得到：

两个系数的显著性检验是非常显著的。

关于方程的检验，残差的标准差Residual standard error：0.3789。相关系数的平方，Multiple R-squared：0.995，也是非常显著的。

该模型能通过t检验和F检验。因此，回归方程为：

y = –42.13087 + 0.89546x

我们将得到的直线方程画在散点图上，如下：

下面我们分析残差，使用residuals（）计算回归方程的残差。计算残差并画出关于残差的散点图，如下：

其中：text(12, y.res[12], labels = 12, adj=1.2)是将第12号残差点标出。

从上图中可以看到，第12个样本点可以会有问题，他比其他的样本点的残差大的多，因为其他点的残差的绝对值都小于0.35，而此点残差的绝对值约为1.3，因此，这个点可能不正确，或者模型的差假设不正确，或者是不是常数，等等。总之，需要对这个问题进行分析（在后面的回归诊断中会详细介绍分析的方法），这里做简单处理，在数据中，去掉第12号样本点。

在去掉第12号样本后，回归方程的系数没有太大的变化，但系数的标准差和残差的标准差有很大的变化，减少了越3倍左右，相关系数R2也有提高。

回归分析，输出结果参数说明