[agc013e]Placing Squares

前言

这题啃了好久啊。
一开始就知道要解决子问题，但没想到是模型转换，只是对着式子乱搞，推了好久（中途推出了一个隔项斐波那契数列）然而最后证实我式子推错了（菜醒.jpg）
于是膜拜了题解的模型转换。

题意

给你一个大小为m的集合S，S中不包含n。
现在对于一个正整数序列 a1−ak ，如果不存在 si 属于集合S就是合法的，s表示a的前缀和。
这样的序列贡献是 Πki=1a2i ，求所有合法序列的贡献和。

模型转换

我们不妨进行一下巧妙的模型转化。
有一个长度为n的序列，你可以在一个位置里放红球或绿球，你还可以在边界以及位置间隙放分隔板，要求满足以下要求：
左边界和右边界必须放分隔板
如果一个位置i属于集合S，那么i和i+1之间的间隙不能放分隔板
任意两个分隔板之间的区域必须恰好放一个红球与一个绿球。
求方案数。
这个是和原问题等价的。
然后我们可以设dp[i][0~2]表示做到第i个位置目前最后一个分隔板后的区域已经放了多少个球。
我们可以把转移写成两个矩阵（一个矩阵是允许放分隔板，另一个是不允许）。
那么可以倍增矩阵乘法做m次，来得到dp[n]。

#include
#include
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100000+10,mo=1000000007;
int ans[3][3],a[3][3],b[3][3],d[3][3],o[3][3];
int x[maxn],sta[80];
int i,j,k,l,t,n,m,now,num,top;
void mult(int a[3][3],int b[3][3],int c[3][3]){
    int i,j,k;
    fo(i,0,2)
        fo(j,0,2)
            o[i][j]=0;
    fo(k,0,2)
        fo(i,0,2)
            fo(j,0,2)
                o[i][j]=(o[i][j]+(ll)a[i][k]*b[k][j]%mo)%mo;
    fo(i,0,2)
        fo(j,0,2)
            c[i][j]=o[i][j];

}
void work(int n){
    int i,j;
    fo(i,0,2)
        fo(j,0,2)
            d[i][j]=(i==j);
    top=0;
    while (n){
        sta[++top]=n%2;
        n/=2;
    }
    while (top){
        mult(d,d,d);
        if (sta[top--]) mult(d,a,d);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,m) scanf("%d",&x[i]);
    x[++m]=n;
    ans[0][0]=ans[0][2]=1;
    ans[0][1]=2;
    a[0][0]=a[0][2]=a[1][1]=a[1][2]=a[2][0]=1;
    a[0][1]=a[2][1]=a[2][2]=2;
    fo(i,0,2)
        fo(j,0,2)
            b[i][j]=a[i][j];
    b[2][0]--;
    b[2][1]-=2;
    b[2][2]--;
    now=1;
    fo(i,1,m){
        work(x[i]-now);
        mult(ans,d,ans);
        if (i==m) break;
        mult(ans,b,ans);
        now=x[i]+1;
    }
    num=ans[0][2];
    (num+=mo)%=mo;
    printf("%d\n",num);
}