部分背包问题贪心选择性质的证明

最近算法课讲到贪心算法，感觉书本上对部分背包贪心选择性质的分析有点笼统，思路模糊。下面我以自己的理解，用数学归纳法对其整理了一下。欢迎大家一起讨论。

部分背包问题贪心选择性质的证明

贪心选择性质：问题的整体最优解可以由一系列子问题的最优选择，既贪心选择得到。

问题描述：假设有n个物体C_1,n分别标记为：1, 2, …, n。其价值分别为：V₁, V₂,…, V_n，重量分别为：W₁， W₂， …, W_n。背包的容量为W。则部分背包问题可以描述为：存

在一个n元向量（X₁， X₂， …, X_n），在 的条件（记为条件1）下，背包的总价值 最大（其中0≤X_i≤1）。假设C_1,n的标号是

按照单位价值V_i/W_i从大到小排好序的，即：V₁/W₁ >  V₂/W₂  >  …  >  V_n/W_n。如果不是，则对C_1,n重新编号即可。

于是部分背包问题的贪心选择性质可以描述为：每次从C_i,j中选择物品，都是优先考虑选择物品i，且在满足条件1的情况下，X_i 越接近1越好。下面用数学归纳法证明这一贪心选择性质：

记A_i,j为从物品C_i,j中选择装进背包的最优解，则原问题为求A_1,n。再记k为第k次从C中选物品进背包。则：

Ⅰ）当k=1时，满足贪心选择性质，即第一次选物品p进背包，且p=1。下面用反证法证明：

若p≠1，则p≥2。但在此情况下不能保证A_1,n最优。试考虑W₁=W的情况下，另外一个解A_1,n^’={1}的价值V^’更大（因为V₁/W₁ > V₂/W₂ > …> V_n/W_n）。既A_1,n不是最优解，产生矛盾。所以p=1。

Ⅱ）在满足条件1的情况下，假设k≤z时，满足贪心选择性质。既前z（包括z）次从C_z,n中选择物品，都是优先考虑选择物品z，且在满足条件1的情况下，X_i 越接近1越好。

Ⅲ）在满足条件1的情况下，当k=z+1时，证明也满足贪心选择性质，既第k=z+1次选物品（z+1）。

先证明A_1,n的子问题A_z+1,n也具有最优性质：如果存在C_z+1,n中选择物品的子问题的解A_z+1,n^’的总价值比A_z+1,n的总价值更大，那么A_z+1,n^’与A_1,z合并后的原问题的解A_1,n^’的总价值比A_1,n的总价值更大。这与A_1,n是最优解矛盾。所以A_z+1,n也具有最优性质。

于是第k=z+1次选择物品等价于子问题A_z+1,n的第一次选择物品，又因为在Ⅱ）假设成立的情况下，C_1,n的前z个物品已经被选了，所以转换成A_z+1,n从C_z+1,n中选择第一个物品。根据Ⅰ），显然优先选择物品（z+1）。所以结论得证。

∴ 综合Ⅰ）Ⅱ）Ⅲ），得证部分背包问题具有最优选择性质。