计算机视觉——Harris角点检测

计算机视觉—Harris角点检测

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1、全微分

        定义：如果函数 z=f(x,y) 在定义域 D 的内点 (x,y) 处全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) 可以表示成

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

        其中， A,B 不依赖于 Δx,Δy ，仅与 x,y 有关，则称函数 f(x,y) 在点 (x,y) 可微。 AΔx+BΔy 称为函数 f(x,y) 在点 (x,y) 的全微分，记作

dz=df=AΔx+BΔy

若函数在 D 内各点都可微，则称此函数在 D 内可微。


        近似：当 z=f(x,y) 在点 (x,y) 的两个偏导数 fx(x,y) 和 fy(x,y) 连续，且 |Δx|,|Δy| 都较小时，有近似等式

Δz≈dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy

        或者

f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy

2、常用公式

[Ax+By]2=[xy][A2ABABB2][xy]

3、角点检测

        寻找角点的基本思想：观察一个小窗口所包含的区域，在角点附近向任何方向移动窗口，灰度值都会有较大的变化。如左图，在平坦区域，在任何方向灰度值都没有变化；如中图，沿着边缘方向灰度值无变化；如右图，在多个方向上灰度值都有变化。



        在平移 [u,v] 下的灰度变化为：

E(u,v)=∑x,yw(x,y)[I(x+u,y+v)−I(x,y)]2

        其中， w(x,y) 是一个以 (x,y) 为中心的窗函数， I(x,y) 是 (x,y) 处的像素值。为了寻找带角点的窗口，需要搜索像素灰度变化较大的窗口。于是, 我们期望最大化 E(u,v) 。


        假设 u 和 v 很小，则有

I(x+u,y+v)−I(x,y)≈Ixu+Iyv

[I(x+u,y+v)−I(x,y)]2≈[Ixu+Iyv]2=[uv][I2xIxIyIxIyI2y][uv]

        因此，对于小平移 [u,v] 可作如下近似

E(u,v)≈[uv]  M[uv]

        其中， M 是一个 2×2 矩阵，

M=∑x,yw(x,y)[I2xIxIyIxIyI2y]

        协方差矩阵可以表示多维随机变量之间的相关性。协方差矩阵的对角线元素表示的是各个维度的方差，而非对角线上的元素表示的是各个维度之间的相关性。可以把矩阵 M 看作一个二维随机分布的协方差矩阵，通过将其对角化，求矩阵的两个特征值，然后根据这两个特征值来判断是不是角点。

        设 λ1,λ2 为矩阵 M 的特征值，当 λ1≫λ2 或 λ1≪λ2 时，为边缘点；当 λ1 和 λ2 都很小且接近时，为平坦区域内的点；当 λ1 和 λ2 都很大且接近时，说明图像窗口在各个方向上移动都产生了明显灰度变化，为角点。

        由于特征值的计算量较大，因此，实际中采用角点响应函数来检测角点。角点响应函数定义为

R=det(M)−k∗[trace(M)]2=λ1λ2−k∗(λ1+λ2)2

        k 的经验取值一般为 0.04−0.06 ， R 依赖于 M 的特征值， R 较大时，为角点； R 值较大且为负时，为边缘； |R| 较小时，为平坦区域。最终， Harris 角点检测就是：寻找有大角点响应函数 R 的点（ R>thres ），且是 R 的局部极大值的点。