数论及数论四大定理

数论 是 纯粹数学 的分支之一，主要研究 整数 的性质。整数可以是方程式的解（ 丢番图方程 ）。有些 解析函数 （像 黎曼ζ函数 ）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（ 丢番图逼近 ）。

按研究方法来看，数论大致可分为 初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、 同余理论、 连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括 代数数论、 解析数论、 计算数论等等。

数论四大定理

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威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理、费马小定理并称数论四大定理。

中文名

数论四大定理

定    理

威尔逊、欧拉、孙子、费马小定理

属    性

数学

欧拉定理别称

费马-欧拉定理

目录

1. 1 威尔逊定理
2. 2 欧拉定理
3. 3 孙子定理
4. 4 费马小定理
5. 5 欧拉定理证明

威尔逊定理

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若p为 质数，则p可整除(p-1)!+1。

欧拉定理

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欧拉定理，也称费马-欧拉定理。

若n,a为正整数，且n,a互素，即gcd(a,n) = 1，则

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

孙子定理

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孙子定理 ，又称中国剩余定理。

公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”

以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的馀数，15乘7除所得的余数，然後总加起来，除以105的余数就是答案。

费马小定理

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假如p是质数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，则a^(p-1) ≡0（mod p）。

若p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

证明：

因为p是质数，且（a，p)=1，所以φ(p)=p-1。由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1（mod p）。证毕。对于该式又有a^p ≡a（mod p），所以，费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^p ≡a（mod p）。

欧拉定理证明

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设x（1），x（2），...，x(φ(n))是一个以n为模的简系，则ax（1），ax（2），...，ax（φ(n) ）也是一个以n为模的简系（因为（a，n）=1）。

于是有ax（1）ax（2）...ax（φ(n) ）≡x（1）x（2）...x(φ(n))（mod n），

所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

证毕。