最大流最小割定理（max flow/min cut theory）

网络与流的概念

  对于有向图D=(V,A)，如果V中有一发点（源）Vs，一收点（汇）Vt，其余均为中间节点，且对A中的每条弧均有权W(Vi,Vj)？0（简记为Wij，并称为弧容量），则称这样的赋权有向图D为容量网络，记为D=(V,A,W)，通过D中弧(Vi,Vj)的物流量为fij，称为弧(Vi,Vj)的流量。所有弧上流量的集合f={fij}称为该网络D的一个流。

最大流最小割定理（max flow/min cut theory）

任一网络D中，最大流的流量=最小截集的截量

 

 

 什么是流（flow）

   在一个有向图中，只有出去的边没有进来的边的节点叫做源（source），只有进来的边没有出去的边的节点叫做汇（sink），其它的节点进来的边和出去的边应该是平衡的。

   边上可以加权值，假设对于一个交通图来说，可以认为边上的权重为一条道路上的最大流量。那么对于图中任意两个节点来说，它们之间可以存在很多路径，每条路径上可以负载的最大流量应该是这条路径上权重最小的那条边所能承载的流量（联想一下“瓶颈”这个词，或者木桶理论），那么所有的路径上所负载流量之和也就是这两个节点之间多能通过的最大流了。

  什么是割？

对于一个图中的两个节点来说，如果把图中的一些边去掉，刚好让他们之间无法连通的话，这些被去掉的边组成的集合就叫做割了，最小割就是指所有割中权重之和最小的一个割。

最大流最小割定理（max flow/min cut theory）：对于任意一个只有一个源和一个汇的图来说，从源到汇的最大流等于最小割。

  For any network having a single origin and single destination node, the maximum possible flow from origin to destination equals the minimum cut value for all cuts in the network.