二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

见课文原文：



下面看转的一片博客文章：

二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为：

							    ay″+by′+cy=f(x)

微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解
简单记为：通解 = 齐次通解 + 特解。

二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法：二阶常系数齐次线性微分方程的通解

下面只需要解出微分方程的特解即可

对应微分方程：

							    ay″+by′+cy=f(x)

右式f(x)有两种形式：
①f(x)=$e^{\lambda x}Pm(x)$型
此时微分方程对应的特解为：
y∗=xkRm(x)eλx

其中：
得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程，即可解出特解中的系数，到这里，就得到了微分方程的完整特解，于齐次通解相加即的微分方程的通解。

例：
求微分方程 2y″+y′−y=2$e^x$ 的通解

解：
微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2$r^2$+r−1=0
可得通解：
$y=c^{{}_1}{e}^{-x}+c^{{}_2}{e}^{\frac{1}{2}x}$

微分方程的右式f(x)=2e^x满足f(x)=$e^{\lambda x}$Pm(x)型，且λ=1,m=0λ=1,m=0，
所以，设特解为：

y∗=a$e^x$

所以y∗=a$e^x$、y∗′=a$e^x$、y∗″=a$e^x$
带入微分方程左式得：2a$e^x+a{e}^x-a{e}^x$=2e^{x}

得：a=1

所以特解为：

y∗=$e^x$

微分方程的通解为：

$y=c^{{}_1}{e}^{-x}+c^{{}_2}{e}^{\frac{1}{2}x}+e^x$

转自：https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79690752