线性代数(Gilbert strang)笔记--第一章

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vector

1. 对于向量$v$我们通常都是默认它为列向量。

2. 数学上解决问题的步骤

   • 建模(公式推导)

   • 计算

Q:四维空间中的立方体，有多少个角？多少条边？多少个三维面？

1. $0000\to 1111$，每一个二进制数对应一个角，故而有16个角。

2. 每个角点对应四条边，每条边对应2个角点。故而$16\ast 4/2=32$条边。

3. 每个点出发4条边，每个三维面共享8个顶点。$16\ast 4/8=8$个三维面

length

$$v\cdot w⩽||v||\cdot ||w||$$ $$||v+w||⩽||v||+||w||$$

1. 几何平均值 $$\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

2. 算术平均数 $$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

几何平均值小于算术平均值。

$$\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}⩽\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

matrix

对于$2x2$的矩阵

$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ l& 1\end{array}\right)\to E^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -l& 1\end{array}\right)$$

只对$2x2$成立

• 循环差分矩阵

  $${\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)}_{3\times 3},{\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ -1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\end{array}\right)}_{4\times 4}$$

• 中心差分矩阵

  $${\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)}_{3x3},{\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)}_{4x4}$$