线性代数(Gilbert strang)笔记--第一章

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vector

  1. 对于向量 v v v我们通常都是默认它为列向量。

  2. 数学上解决问题的步骤

    • 建模(公式推导)

    • 计算

Q:四维空间中的立方体,有多少个角?多少条边?多少个三维面?

  1. 0000 → 1111 0000\to1111 00001111,每一个二进制数对应一个角,故而有16个角。

  2. 每个角点对应四条边,每条边对应2个角点。故而 16 ∗ 4 / 2 = 32 16*4/2=32 164/2=32条边。

  3. 每个点出发4条边,每个三维面共享8个顶点。 16 ∗ 4 / 8 = 8 16*4/8=8 164/8=8个三维面

length

v ⋅ w ⩽ ∣ ∣ v ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ w ∣ ∣ v\cdot w \leqslant ||v||\cdot ||w|| vwvw ∣ ∣ v + w ∣ ∣ ⩽ ∣ ∣ v ∣ ∣ + ∣ ∣ w ∣ ∣ ||v+w||\leqslant ||v||+||w|| v+wv+w

  1. 几何平均值 ∏ i = 1 n x i n \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i} ni=1nxi

  2. 算术平均数 1 n ∑ i = 1 n x i \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i n1i=1nxi

几何平均值小于算术平均值。

∏ i = 1 n x i n ⩽ 1 n ∑ i = 1 n x i \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i} \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i ni=1nxi n1i=1nxi

matrix

对于 2 x 2 2x2 2x2的矩阵

E = ( 1 0 l 1 ) → E − 1 = ( 1 0 − l 1 ) E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ l & 1 \end{array} \right)\rightarrow E^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -l & 1 \end{array} \right) E=(1l01)E1=(1l01)

只对 2 x 2 2x2 2x2成立

  • 循环差分矩阵

    ( 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 ) 3 × 3 , ( 1 0 0 − 1 − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 1 ) 4 × 4 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right)_{3\times 3},\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right)_{4\times 4} 1100111013×3,11000110001110014×4

  • 中心差分矩阵

    ( 0 1 0 − 1 0 1 0 − 1 0 ) 3 x 3 , ( 0 1 0 0 − 1 0 1 0 0 − 1 0 1 0 0 − 1 0 ) 4 x 4 \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right)_{3x3},\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right)_{4x4} 0101010103x3,01001010010100104x4

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