AtCoder Beginner Contest 171 F Strivore 排列组合+难在去重+快速幂+阶乘逆元+组合数

AtCoder Beginner Contest 171   比赛人数10532  比赛开始后14分钟看到A题,之后,每过一分钟看到一道题

AtCoder Beginner Contest 171  F   Strivore   排列组合+难在去重+快速幂+阶乘逆元+组合数

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题目大意：给定字符串s,数字k,可以往字符串s里插入k个小写字母，插入位置不限，问生成新的字符串的数量。

涉及排列组合，怎么选取这一下，比较考验人。

为了验证下面算法正确，还专门针对相应的数据，编写了检验代码，感兴趣的读者，可以阅读AC代码之后的内容。

如下数据模拟如下

2
ab

3851

以下生成过程(aabb,aaab,abbb等不会重复生成)


原始字符长度是2,还需插入2个字符，最后字符串总长度是2+2=2
1.原始字符a占据新字符串串首的位置
a( )( )( )
剩下4个空位，原始字符的后1个字符还需占据1个位置，对应的选择数目是C(3,1)=3
a(b)( )( )
a( )(b)( )
a( )( )(b)
1.1以如下形式为例
a(b)( )( )
剩下的两个空位，可以插入字符，插入的字符都不能与前一个字符雷同，每个位置都有25种形式
a(b)(不能是字母b)(不能是字母b)
对应的组合数量25*25

1.2以如下形式为例
a( )(b)( )
剩下的两个空位，可以插入字符，插入的字符都不能与前一个字符雷同，每个位置都有25种形式
a(不能是字母a)(b)(不能是字母b)
对应的组合数量25*25

1.3以如下形式为例(注：abbb只在此时生成)
a( )( )(b)
剩下的两个空位，可以插入字符，插入的字符都不能与前一个字符雷同，每个位置都有25种形式
a(不能是字母a)(不能是字母a)(b)
对应的组合数量25*25

总的组合数量25*25*3=25^2*C(3,1)=26^0*25^2*C(3,1)

2.原始字符a占据新字符串第二个位置
( )a( )( )
新字符串第二个位置之后只剩下2个空位，原始字符的后2个字符还需占据1个位置，对应的选择数目是C(2,1)=2
( )a(b)( )
( )a( )(b)
2.1以如下形式为例
( )a(b)( )
剩下的a前的1个空位，可以插入字符，插入的字符可以是任意字符，每个位置都有26种形式，
剩下的b后的1个空位，可以插入字符，插入的字符可以是不能与b雷同，每个位置都有25种形式，
(任意字符)a(b)(不能是字母b)
对应的组合数量26*25

2.2以如下形式为例(注：aabb只在此时生成)
( )a( )(b)
剩下的a前的1个空位，可以插入字符，插入的字符可以是任意字符，每个位置都有26种形式，
剩下的a后的1个空位，可以插入字符，插入的字符可以是不能与a雷同，每个位置都有25种形式，
(任意字符)a(不能是字母a)(b)
对应的组合数量26*25

总的组合数量26*25*2=26*25*C(2,1)=26^1*25^1*C(2,1)

3.原始字符a占据新字符串第三个位置
( )( )a( )
新字符串第三个位置之后只剩下1个空位，原始字符的后1个字符还需占据1个位置，对应的选择数目是C(1,1)=1
( )( )a(b)
3.1以如下形式为例(注：aaab只在此时生成)
( )( )a(b)
剩下的a前的2个空位，可以插入字符，插入的字符可以是任意字符，每个位置都有26种形式，
(任意字符)(任意字符)a(b)
对应的组合数量26*26=26^2*C(1,1)=26^2*25^0*C(1,1)

结合上述所有情况，对应的组合数量是26^0*25^2*C(3,1)+26^1*25^1*C(2,1)+26^2*25^0*C(1,1)=3851

根据上述模拟过程，对应的算法如下：

原字符串长度是m,需插入n个字符，在新的字串空间n+m中，

1.先放入第一个原始字符，该原始字符前有i（0<=i<=n）个空位，每个空位均有26种摆法，对应，26^i.

2.此时，总长度是n+m,已占据了i+1个字符，剩下n+m-(i+1)个空位，在剩下的空位中选择m-1个位置给原始字符串中剩下的m-1个字母使用，有C(n+m-i-1,m-1)种选择方式。

3.此时还剩下n+m-(i+1)-(m-1)=n-i个空位，在这剩下每个空位对应着25种选法(26个字母，扣除自左向右，最靠近该位的原字串字母，故剩下25个可选字母)。

综上所述，对应公式如下：

AC代码如下

#include 
#include 
#define mod 1000000007
#define LL long long
#define maxn 1000010
char s[maxn];
LL fact[maxn<<1],inv[maxn<<1];
int m,n;
LL quick_pow(LL a,LL b){//快速幂
	LL ret=1;
	while(b){
		if(b&1)ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ret%mod;
}
void init(){
	int i;
	fact[0]=1;
	for(i=1;i<=n+m;i++)fact[i]=fact[i-1]*i%mod;//阶乘
	inv[n+m]=quick_pow(fact[n+m],mod-2);
	for(i=n+m-1;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;//阶乘的乘法逆元
}
LL C(int n,int m){//组合数计算
	return fact[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;
}
int main(){
	int i;
	LL ans=0;
	scanf("%d%s",&n,s);
	m=strlen(s);
	init();
	for(i=0;i<=n;i++)
		ans=(ans+quick_pow(26,i)*C(n+m-i-1,m-1)%mod*quick_pow(25,n-i)%mod)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

 

为了验证下面算法正确，还专门针对相应的数据，编写了检验代码

验证代码只针对如下数据。

2
ab

3851

验证代码如下，该验证代码编译运行后，输出3851

#include 
#include 
using namespace std;
set st;
int main(){
	char a,b,c,d;
	int A,B,C,D,ans;
	for(a='a';a<='z';a++)
		for(b='a';b<='z';b++)
			for(c='a';c<='z';c++)
				for(d='a';d<='z';d++){
					A=a-'a',B=b-'a',C=c-'a',D=d-'a';
					ans=A+B*100+C*10000+D*1000000;
					if(b=='b'&&a=='a')st.insert(ans);
					else if(c=='b'&&(a=='a'||b=='a'))st.insert(ans);
					else if(d=='b'&&(a=='a'||b=='a'||c=='a'))st.insert(ans);
				}
	printf("%d\n",st.size());
	return 0;
}