监控二叉树详细讲解
一、前言
问题来源LeetCode 968，难度：困难
问题链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-cameras/
二、题目
给定一个二叉树，我们在树的节点上安装摄像头。节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量。
示例 1：
输入：[0,0,null,0,0]
输出：1
解释：如图所示，一台摄像头足以监控所有节点。示例 2：
输入：[0,0,null,0,null,0,null,null,0]
输出：2
解释：需要至少两个摄像头来监视树的所有节点。 上图显示了摄像头放置的有效位置之一。三、分析
不要被题意中的二叉树限制了思维。我们将其看成图或者网状结构，从整体分析这个问题，树给人的感觉往往是从上往下分析。这道题我们需要从下往上分析。叶子结点父节点放置摄像头覆盖的结点最多——要想叶子结点被覆盖，摄像头要不放在叶子结点，要不放在叶子结点父结点，放在父节点覆盖的结点会更多。宗旨：摄像头放置叶子结点父节点上，去掉已经被覆盖的结点，继续这个操作。
3.1 从简单入手，逐渐添加结点：
图1：要满足两个叶子结点被监视到摄像头放在6
图2：4 和 7 是叶子结点摄像头放置他们父节点上 2 和 6
图3：原理同图2
图4：原理同时
3.2 简单原理分析完我们看一个完整实例
图5： 叶子结点有 4、3、5、8，先忘记这是一颗二叉树，把它当着网状结构。从最底层叶子结点开始，最底层叶子结点是3、5、8，摄像头需要放置 4和9这两个结点。
图6：摄像头放置在4和9位置。
图7：已经被覆盖的点，不需要在考虑了，可以去掉，看着更加清晰。结点2由于还有一个子结点，不能去掉，它对它的左结点还存在影响。剩下 4 2 6将摄像头放置2即可。
图8：完整放置展示
四、思路
上面分析我们可以得出，放置最少的摄像头，覆盖所有的点。现在我们怎样将其为代码实现呢？
图9：一个节点有三种状态：无覆盖（0）、被覆盖（1）、摄像头（2）、待确定（为父结点状态，是通过子结点推导出来的）
我们是通过子结点来推导出父结点。需要特殊说明一下，一个父结点可能只有一个子结点，我们可以用被覆盖状态的结点来代替它另外一个子结点，前文图7，已经说明。
子结点状态可能组合 （0，0）、（0，1）、（0，2），（1，1）、（1，2），（2，2），一共有6个类型，不用考虑左右结点顺序，不影响父结点状态。
图10：（0，0）、（0，1）、（0，2） 待确定结点状态需要设置成 状态2（摄像头）。
图11：（1，1） 待确定结点需要设置成 状态0（无覆盖）。它的两个子结点都为1，被覆盖状态的节点是可以直接去掉，即当前的父节点可以看成一个叶子节点，如果它有父节点则它的父节点会被设置成摄像头（状态2），如果没有那它是一个根节点我们需要将其设置成摄像头（状态2）。这个结点是觉得它父结点状态。
图12：（1，2），（2，2）待确定结点的子结点有摄像头，它的状态需要设置成状态1（被覆盖状态）
以上我们已经通过子结点可以推导出父节点状态了。万事俱备只欠编码了。
五、编码实现
//==========================================================================
/**
* @file : MinCameraCover.h
* @title : 监控二叉树
* @purpose : 给定一个二叉树，我们在树的节点上安装摄像头。节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量
*
示例 1：
* 0
* /
* 0(摄像头)
* / \
* 0 0
* 输入：[0,0,null,0,0]
* 输出：1
* 解释：如图所示，一台摄像头足以监控所有节点。
* 示例 2：
* 0
* /
* 0(摄像头)
* /
* 0
* /
* 0(摄像头)
* \
* 0
* 输入：[0,0,null,0,null,0,null,null,0]
* 输出：2
* 解释：需要至少两个摄像头来监视树的所有节点。 上图显示了摄像头放置的有效位置之一。
* 提示：
* 给定树的节点数的范围是 [1, 1000]。
* 每个节点的值都是 0。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-cameras
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
*
*/
//==========================================================================
#pragma once
#include "Common.h"
#include "ConstructTree.h"
template
int minCameraCover(BinaryTreeNode* root)
{
if (root == nullptr) return 0;
int ans = 0;
if (minCameraCover_DFS(root, ans) == 0) ans++; // 返回状态0，为什么需要+1，见图11
return ans;
}
template
int minCameraCover_DFS(BinaryTreeNode* node, int& ans)
{
if (node == nullptr)
return 1;
int left = minCameraCover_DFS(node->m_pLeft, ans);
int right = minCameraCover_DFS(node->m_pRight, ans);
if (left == 0 || right == 0) // 见图10分析
{
ans++;
return 2;
}
else if (left == 1 && right == 1) // 见图11分析
{
return 0;
}
else // 见图12分析
{
return 1;
}
}
// 以下为测试代码
#define NAMESPACE_MINCAMERACOVER namespace NAME_MINCAMERACOVER {
#define NAMESPACE_MINCAMERACOVEREND }
//////////////////////////////////////////////////////////////////////
// 测试 用例 START
NAMESPACE_MINCAMERACOVER
template
void test(const char* testName, BinaryTreeNode* root, int expect)
{
int sum = minCameraCover(root);
if (sum == expect)
{
cout << testName << " solution passed." << endl;
}
else
{
cout << testName << " solution failed. sum: " << sum << endl;
}
}
// 根结点
// 2
void Test1()
{
const int length = 1;
int preorder[length] = { 2 };
int inorder[length] = { 2 };
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 1;
test("Test1()", pRoot, expect);
}
// 完全二叉树
// 2
// / \
// 1 3
void Test2()
{
const int length = 3;
int preorder[length] = { 2, 1, 3 };
int inorder[length] = { 1, 2, 3 };
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 1;
test("Test2()", pRoot, expect);
}
// 普通二叉树
// 1
// / \
// 2 3
// / / \
// 4 5 6
// \ /
// 7 8
void Test3()
{
const int length = 8;
char preorder[length + 1] = "12473568";
char inorder[length + 1] = "47215386";
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 3;
test("Test3()", pRoot, expect);
}
// 普通二叉树
// a
// / \
// b c
// / \ / \
// d e f g
// / \
// h i
void Test4()
{
const int length = 9;
char preorder[length + 1] = "abdehicfg";
char inorder[length + 1] = "dbheiafcg";
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 3;
test("Test4()", pRoot, expect);
}
// 所有结点都没有右子结点
// 1
// /
// 2
// /
// 3
// /
// 4
// /
// 5
void Test5()
{
const int length = 5;
char preorder[length + 1] = "12345";
char inorder[length + 1] = "54321";
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 2;
test("Test5()", pRoot, expect);
}
// 所有结点都没有左子结点
// 1
// \
// 2
// \
// 3
// \
// 4
// \
// 5
void Test6()
{
const int length = 5;
char preorder[length + 1] = "12345";
char inorder[length + 1] = "12345";
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 2;
test("Test6()", pRoot, expect);
}
// 完全二叉树
// 1
// / \
// 2 3
// / \ / \
// 4 5 6 7
void Test7()
{
const int length = 7;
char preorder[length+1] = "1245367";
char inorder[length+1] = "4251637";
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 2;
test("Test7()", pRoot, expect);
}
// 完全二叉树
// 4
// / \
// 2 5
// / \
// 1 3
void Test8()
{
const int length = 5;
char preorder[length + 1] = "42135";
char inorder[length + 1] = "12345";
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 2;
test("Test8()", pRoot, expect);
}
// 二叉树
// 6
// / \
// 2 7
// / \ \
// 1 4 9
// / \ /
// 3 5 8
void Test9()
{
const int length = 9;
char preorder[length + 1] = "621435798";
char inorder[length + 1] = "123456789";
BinaryTreeNode* pRoot = ConstructTree(preorder, inorder, length);
int expect = 3;
test("Test9()", pRoot, expect);
}
NAMESPACE_MINCAMERACOVEREND
// 测试 用例 END
//////////////////////////////////////////////////////////////////////
void MinCameraCover_Test()
{
NAME_MINCAMERACOVER::Test1();
NAME_MINCAMERACOVER::Test2();
NAME_MINCAMERACOVER::Test3();
NAME_MINCAMERACOVER::Test4();
NAME_MINCAMERACOVER::Test5();
NAME_MINCAMERACOVER::Test6();
NAME_MINCAMERACOVER::Test7();
NAME_MINCAMERACOVER::Test8();
NAME_MINCAMERACOVER::Test9();
} 执行结果：
