一道题看懂递归、（深度搜索）dfs、记忆化搜索、动态规划（DP）的差别！

有一个层数为n（n<=1000)的数字三角形。现有一只蚂蚁从顶层开始向下走，每走下一级，可向左下方向或右下方向走。求走到底层后它所经过数字的总和的最大值。
【输入格式】
第一个整数为n,一下n行为各层的数字。
【输出格式】
一个整数，即最大值。
【输入样例 】
5
1
6 3
8 2 6
2 1 6 5
3 2 4 7 6
【输出样例】
23
【样例说明】
最大值=1+3+6+6+7=23

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递归算法

思路：如果用递归的方法，我们可以这样认为，要知道某一点所能达到的最大值，必须知道其左下或右下所能达到的最大值。依次推至最底层，获得最底层的值，再依次会算至顶点（1,1）

#include
#include
using namespace std;
int a[1001][1001],n;

//求出二维数组坐标(x,y)的最大值。 

int f(int x,int y){ 
    if(x==n)return a[x][y];
    return  a[x][y]+max(f(x+1,y),f(x+1,y+1));
}


int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<1,1); 
}

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记忆化搜索优化算法

运行上面的程序，可以发现运行速度是很慢的，这是因为在运行过程中，很多值被反复地计算。其实如果把已经计算出来的值保存起来，下次 用的时候直接那来算，速度会快上很多。这就是所谓的记忆化搜索。

//数字三角形-记忆化搜索（动态规划 DP） 
#include
#define maxn 100 
using namespace std;

int a[maxn][maxn],N,total,did[maxn][maxn];

int f(int i,int j){
    if(i==N-1)
    return a[i][j];
    if(did[i][j])
    return did[i][j];
    did[i][j]=a[i][j]+max(f(i+1,j),f(i+1,j+1));
    return did[i][j];
}
int main(){
    cin>>N;
    for(int i=0;i
        for(int j=0;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    cout<
}

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深度优先搜索

前面的递归算法，实际上是将整个数字三角形搜索了一遍，所以，完全可以用深度优先搜索算法。就是一条路走到黑，前面没有路就返回上一个路口，另选一条路走到黑…..如此反复，知道所有路全部走遍。

#//数字三角形-深度优先搜索
#include
 int Max=-0X3f3f3f;
#define maxn 100
using namespace std;
int a[maxn][maxn],N,sum=0;

void dfs(int i,int j){

    sum+=a[i][j];
    if(i==N)
    {
        if(sum>Max)
        Max=sum;
        return ;
    }
    for(int x=0;x<2;x++){
        dfs(i+1,j+x);
        sum-=a[i+1][j+x];       //这里是指回溯 思考这里为什么回溯的时候要在这里减去a[i+1][j+x]； 
    }
} 
int main(){
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    cin>>N;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    dfs(1,1);
    cout<

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动态规划

思路：

#include
using namespace std;
const int M=1001;
int n;
int a[M][M];

int func(){
    int i,j;
    for(i=n-1;i>=1;i--)
        for(j=1;j<=i;j++)
        {
            if(a[i+1][j]>a[i+1][j+1])
            a[i][j]+=a[i+1][j];
            else a[i][j]+=a[i+1][j+1];
        }
        return  a[1][1];
}

int main(){

    int i,j,max;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
            cin>>a[i][j];
    cout<return 0;
}