Manacher算法（马拉车算法）讲解

Manacher算法：是一种高效的找出一个字符串中回文序列的最大值的算法。时间复杂度为O（n）；

我们正常的对于字符串的回文串的求法。是对从i向两端延伸。时间复杂度过不去很多题。所以manacher算法的优势就要展现了。

我们可以思考一个问题我们是否能不用每次都从i点来向两边扩展。答案是可以的。我们可以利用前面算好的回文串长度来优化当前回文串长度的查找。

在详细讲这个算法之前。来明晰一些要用上数据结构，以及其含义。

p【i】：代表以i为中点的回文串长度。

mx：当前回文串的最右端点的位置。

id：当前最靠右端回文串的中点位置。

好了，上面的概念不理解没有关系，但是要记住，他们各自都代表什么。

Manacher算法的第一步：对原字符串的预处理。就是在字符中间添加#号。具体这一步的用法是用来解决单双数字符串的问题。举个例子就能明白了。

例如：对于字符串 aba来说，经过处理后将会变成@#a#b#a#。字符串个数为奇数。

    对于字符串 abab来说，经过处理后将会变成@#a#b#a#b#。字符串个数为奇数。

细心地同学会发现。为什么前面有个@呢。让s【0】 = ‘@’。的话会方便字符串下标的处理。

Mancher算法的第二步：遍历数组。对于任意i位置。我们要取得i关于id对称的位置j。因为id是半径长度为mx-id的回文串。所以i位置的回文情况是和关于id对称点j的回文情况是相等的。举个例子

@   #   b   #   a   #   b   #   a   #   e   #   a   #   b   #   a   #   b   #；

0    1   2   3    4   5   6   7   8   9  10  11 12 13 14 15 16 17 18  19

                                  j                   id                 i                      mx

                            id-(i-id) 

p【】                        3                                         3

当i = 14

p【i】 = p【id-（i-id）】= 3；

但是这只是其中的一种情况而已。

再举一个例子：

@   #   e   #   a   #   b   #   a   #   e   #   a   #   b   #   a   #   d   #

0     1   2   3   4   5   6   7   8   9  10 11 12 13 14 15 16  17 18 19

                                 j                  id                  i                   mx        

                              id-（i-id）

p【】                      5                                           3

为什么会出现这种情况的呢？

我们知道对于这个例子当i = 14时，当前最长的回文串时以id为中心半径长度为mx - id。所以关于e这个字符两边的aba这一段一定是相等。但是不能保证左边的以b为中心的回文串的长度只到两边的a。这个回文串有可能更长。这样就导致左边的b中p【j】的值不等于p【i】。但是我们可以知道的是两段aba是一定相等的。

所以综合这两种情况。我们可以得出

p【i】 = min（mx-i ，p【id-（i - id）】）；

当然了这是在mx > i 的情况 

不在这个情况的下

p【i】 = 1；

manacher算法到这里就完成了？naive 还有一步。就是再向两边来找，也就是去延伸i点的回文串。然后比较 更新 id 和mx的值。

下面看一下具体实现过程：

 

 

#include
#include
#include
using namespace std;

const int N = 20000005;
char str[N];
int p[N];
void 
manacher(char *s,int len){
	p[0] = 1;
	int mx = 0 , id  = 0;
	for(int i = 1 ;i < len ; i ++){
		p[i] = mx > i ? min(p[id*2 - i],mx-i) : 1;
		while(s[i+p[i]] == s[i-p[i]])
			p[i] ++;
		if(i+p[i] > id + p[id]){
			id = i;
			mx = i +p[i];
		} 
	}
}
int main(){
	while(scanf("%s",str)){
		int len = strlen(str);
		for(int i = len ; i >= 0; i --){
			str[(i << 1) + 1] = '#';
			str[(i << 1) + 2] = str[i];
		}
		str[0] = '@';
		len = len*2 +2;
		manacher(str,len);
		int ans = 0;
		for(int i = 0 ; i < len ; i++)
			ans = max(ans,p[i]-1);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}