20200620日常总结——一道 UVA 数论好题

$$\text{UVA11609}$$

$\text{[Problem]}$

• 有 $n$ 个人，选一个或多个参赛，其中一名是队长，求方案数。
• 参赛者不同或参赛者相同队长不同算不同方案。
• 但选参赛者的顺序不同记为相同，即 $1,2,3$ 和 $2,3,1$ 记为相同。
• 答案对 $1\times 10^9+7$ 取模，$1\le n\le 1\times 10^9$。

$\text{[Soluntion]}$

我们知道，从 $n$ 个人选 $i$ 个人的方案数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$ 即 $C_n^i$ 种，算上队长，一共是 $C_n^i\times i$ 种方案。

所以枚举 $i$ 可以得到总方案数为：

$$\begin{array}{rl}\text{ans}& =\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\times i\\ & =\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}}[i+(n-i)]\times C_n^i\\ & =\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}}n\times C_n^i\\ & =n\times 2^{n-1}\end{array}$$

其中，第二步是利用了 $C_n^i=C_n^{n-i}$ 这一条性质，而最后一步则是利用了：

$$\sum _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)=2^n$$

$\text{[code]}$

const int mod=1e9+7;
inline int ksm(int a,int b){
	register int res=1;
	while (b){
		if (b&1) res=1ll*res*a%mod;
		a=1ll*a*a%mod;b>>=1;
	}
	return res;
}
inline int f(int n){
	return 1ll*n*ksm(2,n-1)%mod;
}
int test_number,n,g;
int main(){
	scanf("%d",&test_number);
	while (test_number--){
		scanf("%d",&n);//输入参赛人数 
		printf("Case #%d: %d\n",++g,f(n));
	}
}