共轭复数的性质及复数模的运算性质

定义：复数$z=a+bi(a,b\in R)$的共轭复数记作$\overline{z}$,也就是
$$\overline{z}=a-bi$$

一.共轭复数的性质：

1.$|z|=|\overline{z}|$
2.$z+\overline{z}=2a,a\in R$
3.$z-\overline{z}=2bi$
4.$z\overline{z}=|z{|}^2$
5.${\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2={\overline{z}}_1+z_2$
6.${\overline{z}}_1-{\overline{z}}_2={\overline{z}}_1-z_2$
7.${\overline{z}}_1\ast {\overline{z}}_2={\overline{z}}_1\ast z_2$
8.$\frac{{\overline{z}}_1}{{\overline{z}}_2}=\overline{\frac{z_1}{z_2}}$

二.复数模的运算性质

1.$||z_1|-|z_2||\le |z_1\pm z_2|\le |z_1|+|z_2|$
2.$|z_1\ast z_2|=|z_1|\ast |z_2|$ 推广：$|z_n|=|z{|}^n$
3.$|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$

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