------ 本文是学习算法的笔记,《数据结构与算法之美》,极客时间的课程 ------
今天来学习贪心算法(greedy algorithm)。贪心算法有很多经典的应用,比如霍夫曼编码(Huffman Coding)、Prim 和 Kruskal最小生成树算法、还有 Dijkstra 单源最短路径算法。最小生成树算法和最短路径算法我们后面会讲到。今天来看下,霍夫曼编码,它是如何利用贪心算法来实现对数据压缩编码,有效节省数据存储空间的。
先看一个例子,假设我们有一个可以容纳100kg物品的背包,可以装各种物品。我们有以下5种豆子,相差总量和总价如下图。为了让背包中所装物品总价最大,我们如何选择在背包中装哪些豆子?每种豆子双该装多少?
这个很多简单,现实中你也会这么做,算出单价后,装单价最高的。也就是往背包里装20kg黑豆、30kg绿豆、50kg红豆。
这个总量的解决思路显而易见,它本质上借助贪心算法。结合这个例子,我总结一下贪心算法解决总量的步骤。
第一步,当我们看到这类问题的时候,首先要联想到贪心算法:会对一组数据,我们定义限制值和期望值,希望从中选出几个数据,在满足限制值的情况下,期望值最大。
类比刚刚的例子,限制值就是重量不超过100kg,期望值就是物品的总价值。这级数据就是5 种豆子。我们从中选出一部分,满足重量不超过100kg,并且价值最大。
第二步,我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决:每次选择当前情况下,在对限制值同等贡献情况下,对期望值贡献最大的数据。
类比刚刚的例子,我们每次从剩下的豆子里面,选择单价最高的,也就是重量相同的情况下,对价值贡献最大的豆子。
第三步,我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。大部分情况下,举几个例子验证一下就可以了。严格地证明贪心算法的正确性,是非常复杂的,需要涉及较多的数学推理。而且,从实践角度来说,大部分能用贪心算法解决的问题,贪心算法的正确性都是显而易见的,也不需要严格的数学推导证明。
实际上,用贪心算法解决问题的思路,并不总能给出最优解。
如下图,我们从顶点S开始,找一条到顶点T的最短路径。贪心算法来找的话,就是S->A->E->T,路径长度是9。
但实际上,最优路径是S->B->D->T,路径长度是6。为什么贪心算法在这个问题上不工作了呢?
这是因为前面的选择,会影响后面的选择。如果第一步从S到A,那接下来面对的顶点和边,跟第一步从顶点S到B,是完全不同的。
对于贪心算法,如果死抠的话,确实很难理解透彻。掌握贪心算法的关键是多练习。只要多练习几道题,自然就有感觉了。所以,带着你分析几个具体的例子。
1、分糖果
我们有 m 个糖果和 n 个孩子。糖果少,孩子多,怎么把糖果分配给孩子。
每个糖果的大小不等,这 m 个糖果大小分别是 s1, s2, s3, … , sm。除此之外,每个孩子对糖果大小的需要也不一样,假设这 n 个孩子对糖果大小的需要分别是g1, g2, g3, … ,gn。
我的问题是,如何分配糖果,能满足最多数量的孩子?
我们每次从的孩子中,找出对糖果大小需要最小的,然后在剩余的糖果中,找到能满足他的最小的糖果,分给他之后,重复这样的操作。
2、钱币找零
这个问题在我们日常生活中更加普遍。假设我们有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元这些面额的纸币。它们的张数分别是c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付K元,最少要用多少张纸币呢?
在生活中,我们肯定是先用面值最大的来支付,即先用一张小于K元的最大面值,然后再选一张小于未支付总额的最大面值,依次选下去。
3、区间覆盖
假设我们有 n 个区间,区间的起始端点和结束端点分别是[l1, r1],[l2, r2],[l3, r3], … ,[ln, rn]。我们从这些区间中选出一部分区间,满足任何区间不重合(端点重合的情况不算),最多能选出多少区间呢?
这个问题的处理思路稍微不是好么好懂。但是这个处理思想在很多贪心算法问题中都有用到,比如任务调试、教师排课等等问题。
第一步,在所有区间中,找出右侧端点最小的那个区间,并且把与此区间有重合的区间删除。第二步,在剩余区间中找出右侧端点最小的那个区间,并且删除与此区间有重合的区间。重复步骤二。
如何用贪心算法实现霍夫曼编码?假设我人一个包含1000个字符的文件,每个字符占1个byte(1byte=8bits),存储这1000字符就一共需要8000bits,那有没有更加节省空间的存储方式呢?
假设我们分析发现,这1000个字符中只包含6种不同字符,假设它们分别是a, b, c, d, e, f。而3个二进制位(bit)就可以表示8种不同的字符,所以,为了尽量减少存储空间,每个字符我们用3个二进制来表示。那存储这1000个字符只需要3000bits就可以了。不过,还有没有更加节省空间的存储方式呢?
a(000)、b(001)、c(010)、d(011)、e(100)、f(101)
霍夫曼编码要全场了,它广泛用于数据压缩,其压缩率通常在20%~90%之间。
霍夫曼验证码不仅会考察文本中有多少个不同字符,还会考察每个字符出现的频率,根据频率的不同,选择不同长度的编码。霍夫曼编码试图用这种不等长的编码方法,来进一步增加压缩的效率。如何给不同频率的字符选择不同长度的编码呢?根据贪心思想,我们可以把出现频率比较多的字符,用稍微短一些的编码,出现频率比较少的字符,用稍微长一些的编码。
对于等长的编码来说,我们解压缩很简单。比如刚才那个例子中,我们用3个bit表示一个字符。在解压的时候,我们每次从文本中读取3位二进制码,然后翻译成对应的字符。但是,霍夫曼编码是不等长的,每次应该读取1位还是2位、3位等等来解压缩的呢?这个问题就导致霍夫曼编码解压缩来比较复杂。为了避免解压缩过程中的歧义,霍夫曼要求各个字符的编码之间,不会出现某个编码是另一个编码前缀的情况。
假设这6个字符出现的频率从高到低依次是a、b、c、d、e、f。我们把它们编码下面这个样子,任何一个字符的编码都不是另一个的前缀,在解压缩的时候,我们每次会读取尽可能长的可解压的二进制,所以在解压的时候,也不会有歧义。经过这各编码压缩之后,这1000个字符,只需要2100bits就可以了。
尽管霍夫曼编码的思想并不难理解,但是根据字符出现频率的不同,给不同的字符进行不同长度的编码呢?这里的处理稍微有些技巧。
我们每个字符看作一个节点,并且辅带看把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点A、B,然后新那一个节点C,把频率设置为两个节点的频率之和,并把这个新节点C作为节点A、B的父节点。最后两把C节点放到优先级队列中。重复这个过程,直到队列中没有了数据。
现在,给每一条边画一个权值,指向左子节点的边我们统统标记为0,指向右子节点的过,我们统统标记为1,那从根节点到叶子节点的路径就是叶子节点对应字符的霍夫曼编码。
实际上贪心算法适用的场景比较有限,这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法,这些算法都用到了贪心算法。从我个人学习经验来讲,还要刻意去记忆贪心算法的原理,多练习才是最有效的学习方法。
贪心算法的最难的一块是如何将要解决的问题抽象成贪心算法模型,只要这一步搞定之后,贪心算法的编码一般都很简单。贪心算法解决疸的正确性虽然很多时候看起来是显而易见的,但是要严谨地证明算法能够得到最优解,并不是件容易的事。所以,很多时候,我们只需要多举几个例子,看一下贪心算法的解决方案是否真的能得到最优解就可以了。