【Learning】二项式反演

如果我们有一个这样的式子

f(n)=∑i=0ng(i)Cin f ( n ) = ∑ i = 0 n g ( i ) C n i

并且我们已经知道了 f f ，我们能否直接求出 g g 呢？答曰：可以。这个东西就叫做二项式反演。结果就是

g(n)=∑i=0n(−1)n−iCinf(i) g ( n ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i C n i f ( i )

怎么证？
一般证明反演的套路，我们带入一下

g(n)=∑i=0n(−1)n−iCin∑j=0ig(j)Cji g ( n ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i C n i ∑ j = 0 i g ( j ) C i j

改变一下枚举顺序

g(n)=∑j=0ng(j)∑i=jn(−1)n−iCinCji g ( n ) = ∑ j = 0 n g ( j ) ∑ i = j n ( − 1 ) n − i C n i C i j

暴拆之后，我们发现一个式子

CinCji=CjnCn−in−j C n i C i j = C n j C n − j n − i

替换一下

g(n)=∑j=0ng(j)∑i=jn(−1)n−iCjnCn−in−j g ( n ) = ∑ j = 0 n g ( j ) ∑ i = j n ( − 1 ) n − i C n j C n − j n − i

g(n)=∑j=0nCjng(j)∑i=jn(−1)n−iCn−in−j g ( n ) = ∑ j = 0 n C n j g ( j ) ∑ i = j n ( − 1 ) n − i C n − j n − i

后面的东西直接二项式定理

g(n)=∑j=0nCjng(j)(−1+1)n−j g ( n ) = ∑ j = 0 n C n j g ( j ) ( − 1 + 1 ) n − j

仅当 n−j=0 n − j = 0 ，即 n=j n = j ， (−1+1)n−j ( − 1 + 1 ) n − j 才不为0
因此

g(n)=Cnng(n)=g(n) g ( n ) = C n n g ( n ) = g ( n )

证明完毕。
例题