斜率优化dp学习

转自orzzz 斜率优化dp学习

用了一堂半的课才彻底搞懂。其他神犇写的博客或多或少有点小bug，所以orzzz不才斗胆重新写一个。

里面大量穿用其他神犇的原话，就不逐一标明出处了。

引用资料 Accept的博客 MathonL的博客

 

 

首先是最经典的题的题面。

HDU 3507，很适合的一个入门题。

大概题意就是要输出$N$个数字$a[N]$，输出的时候可以连续连续的输出，每连续输出一串，它的费用是 “这串数字和的平方加上一个常数$M$”。

我们设$dp[i]$表示输出到$i$的时候最少的花费，$S[i]$表示从$a[1]$到$a[i-1]$的数字和。注意这里为了方便起见前缀和与一般的有区别。

则有： $dp[i]=min\left\{dp[j]+(S[i+1]-S[j]{)}^2+M\right\}$

复杂度显然是$O(n^2)$的。对于$500000$的$n$显然过不了。那么我们想，能否在$O(1)$时间内找到所有转移里最优的那个呢？
我们假设在求解$dp[i]$时，存在 $j,k$ 使得从$j$转移比从$k$转移更优，那么需要满足条件：$dp[j]+(S[i+1]-S[j]{)}^2+M<dp[k]+(S[i+1]-S[k]{)}^2+M$
展开上式
$dp[j]+S[i+1{]}^2-2S[i+1]S[j]+S[j{]}^2+M<dp[k]+S[i+1{]}^2-2S[i+1]S[k]+S[k{]}^2+M$
移项并消去再合并同类项得
$dp[j]-dp[k]+S[j{]}^2-S[k{]}^2<2S[i+1](S[j]-S[k])$
把$S[j]-S[k]$除过去，得到

$\frac{dp[j]-dp[k]+S[j{]}^2-S[k{]}^2}{S[j]-S[k]}<2S[i+1]$

我们设$f[x]=dp[x]+S[x{]}^2$，就化成了

$\frac{f[j]-f[k]}{S[j]-S[k]}<2S[i+1]$

即当$(j<k)$时，若KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 28: …[k]}{S[j]-S[k]}&̲lt;2S[i+1]，则$j$对更新$dp[i]$比$k$更新$dp[i]$优。

休息一下qwq。这个东西好像斜率。

当一个数的$dp$值求完了，它的$f$值也跟着确定，我们就可以在空间中绘制出点$(S[i],f[i])$。这个点代表已经求出$dp$值的一个点。

当我们要求解$dp[t]$时，如果可用的集合里存在这样三个点，位置关系如图所示：

那么显然

$\frac{f[j]-f[k]}{S[j]-S[k]}>\frac{f[i]-f[j]}{S[i]-S[j]}$
这时候他们和$2S[t+1]$的关系有3种：
$\frac{f[j]-f[k]}{S[j]-S[k]}>\frac{f[i]-f[j]}{S[i]-S[j]}>2S[t+1]$

那么$j$比$i$优，$k$比$j$优。
$\frac{f[j]-f[k]}{S[j]-S[k]}>2S[t+1]>\frac{f[i]-f[j]}{S[i]-S[j]}$
那么$i$比$j$优，$k$比$j$优。
$2S[t+1]>\frac{f[j]-f[k]}{S[j]-S[k]}>\frac{f[i]-f[j]}{S[i]-S[j]}$
那么$i$比$j$优，$j$比$k$优。
综上，不管什么样的$S[t+1]$，从$j$转移都不会是最佳方案。那么用一个数据结构维护一个凸包（下凸），每加入一个点就删去一些点，使其维持凸包的形态。最优转移一定在这个凸包中。
但还是不能$O(1)$对吧。在凸包里，谁又是最最优呢？
首先一定数据结构里的凸包一定会是这样的：

假设$ji$的斜率KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 1: &̲gt;2S[t+1]且$kj$的斜率KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 1: &̲lt;2S[t+1]从图形特点我们可以发现$j$点比所有比$k$小的点都优，比所有比$i$大的也优。所以对于我们二分查找斜率比$2S[t+1]$小的编号最大的点，就是最优的转移点。由于$S[i]$也满足单调性，我们还可以直接维护一个单调队列就能解决这个问题。
推广一下，如果不等式右侧不是像$S[i+1]$这样的单调函数，二分就好了。
所有小于等于的情况我都没提，想一想就知道了。重要的是思想啊对不对~