[学习笔记] 关于原码与补码

二进制原码：
最高位为符号位，最高位为0时表示正数，为1时表示负数，如：

1111 1111 = -127 ; 0111 1111 = 127

此时称为原码(true form)，但原码不能直接参与运算，如：

1000 0001 = -1
0000 0001 = 1
-1 + 1 = 1000 0001 + 0000 0001 = 1000 0010 = -2 
1
2
3
这显然是错误的，此外可以发现原码中有两种0： 
0000 0000 = +0 ; 1000 0000 = -0

因此计算机中采用补码(complement)来表示有符号整数。

首先引出模的概念：
模为一个计量系统的计数范围。如时钟的表示范围为00:00:00 – 11:59:59，故时钟的模为12:00:00。有模的计量器均可以化减法为加法，如若想从10点调整到6点，既可以倒拨4个小时，也可以正拨8个小时。

Byte型数据有8位，则不考虑符号时，其能表示的最大数值为1111 1111（255），+1后为1 0000 0000，最高位溢出，归零。故byte型数据的模则为256（2828）

补码的定义：
对于正整数来说，原码即补码；
对于负整数来说，其补码与其绝对值的原码相加，和为模（2n2n）；
补码中0的表示方法只有一种：0000 0000；
强制规定原码的-0（仅最高位为1，其他位全为0）的值为最小的负数，即−2(n−1)−2(n−1)。如byte型数据中，1000 0000 = -128（−27−27）；
补码再求补码，等于该整数本身；
补码的计算：
对于正整数，原码即补码；
对于负整数，补码的求法为取其绝对值的二进制，按位取反后+1，即求得其补码。如以byte型数据为例，求-7的补码： 
先取得7的二进制：0000 0111 = 7
按位取反： 1111 1000
再加1：1111 1001 即为-7的补码
对负数求补码的算法的代数证明：
由补码定义可知，一个负整数的补码与其绝对值的原码（由于是正数，即为补码），和为模。对于一个n位的二进制数来说，模为2n2n。

设一个负数A−A−，其二进制原码为 1 kn−2 kn−3 … k1 k01 kn−2 kn−3 … k1 k0，则其绝对值A+A+的二进制原码/补码为 0 kn−2 kn−3 … k1 k00 kn−2 kn−3 … k1 k0。其十进制的值即为： 
A+=0∗2n−1+kn−2∗2n−2+kn−3∗2n−3+ ... +k1∗21+k0∗20
A+=0∗2n−1+kn−2∗2n−2+kn−3∗2n−3+ ... +k1∗21+k0∗20
按照负整数补码求法，要将其绝对值的原码/补码先按位取反再+1（AC=∼A++1AC=∼A++1）。对于二进制来说，每一位非0即1，即使当前位为未知的x，按位取反也可用(1-x)表示。则A+A+按位取反后二进制为1 (1−kn−2) (1−kn−3) … (1−k1) (1−k0)1 (1−kn−2) (1−kn−3) … (1−k1) (1−k0)，十进制表示方法为：

∼A+=1∗2n−1+(1−kn−2)∗2n−2+(1−kn−3)∗2n−3+ ... +(1−k1)∗21+(1−k0)∗20=(2n−1+2n−2+ ... +20) − (2n−2∗kn−2+2n−3∗kn−3+ ... +21∗k1+20∗k0)=2n−1−A+⇒(∼A++1)+A+=2n⇒AC+A+=2n
∼A+=1∗2n−1+(1−kn−2)∗2n−2+(1−kn−3)∗2n−3+ ... +(1−k1)∗21+(1−k0)∗20=(2n−1+2n−2+ ... +20) − (2n−2∗kn−2+2n−3∗kn−3+ ... +21∗k1+20∗k0)=2n−1−A+⇒(∼A++1)+A+=2n⇒AC+A+=2n
即该负整数的补码与其绝对值的原码/补码相加等于模，完全符合补码的定义。证毕！

求原码：
对于正整数，原码即补码；
对于负整数，最高位为符号位，保持为1不变，其他位按位取反+1，即求得补码；
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作者：水蓝城城主 
来源：CSDN 
原文：https://blog.csdn.net/mrliuzhao/article/details/79769280 
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