【考研笔记】数学一 · 高等数学笔记

考研一战顺利上岸啦,报考专业计算机科学与技术,考的数一英一。现在离开学还有段时间,所以趁机把自己的笔记都整理一下,希望可以帮到一些备考的同学。

写在前面:

  1. 首先说一下自己的复习计划跟想法。数一今年有点难,我也考得不是很高分,不过我也总结了一些不足之处,或许会有帮助。
    我看的网课是:汤家凤高数基础班+李永乐线代+张宇高数/概率论强化班。
    使用的教材是:课本+汤家凤1800+李永乐线代+张宇高数18讲+张宇概率论9讲。

    (1) 前期打基础阶段:我跟的是汤神的基础班,收获很多,这个阶段算是对数学从一个遗忘到熟悉的过程。
    个人看课的流程就是(请勿模仿):看网课,看课本,做课本习题。看完全部基础课之后,又开始做1800基础题。这个过程花的时间实在太多了,网上说是打基础多花点时间没关系,但是效果实在不大。
    我个人的建议是在课本习题跟1800的基础题两者之中选一个做就好了。至于1800的强化题,我感觉不是很有必要做,直接进入教材的强化阶段就好。

    (2) 暑期强化阶段:一般暑期就要进入强化阶段了,这个阶段需要使用教材,比如高数18讲、闭关修炼之类的(这两个也是我用的)。我看的是张宇老师的强化课,课不多,宇哥讲得生动,所以听起来还蛮有趣的。
    这个阶段是我把各个知识点深入理解或牢牢记住的过程。说实话,收获是有的,基础夯实了很多,也跟着宇哥学到了一些巧妙的解法。
    但是后期做真题的时候,感觉自己的基础还是不够。所以如果重来一次的话,我可能会选择做复习全书跟660,抱紧永乐大帝大腿。

    (3) 真题阶段:10月份左右要开始真题,刷完之后开始模拟题,模拟题我只做了李林的,最后一道也没押到,血亏,如果重来我绝对不选李林。
    真题部分我也做了一点总结,后续再整理在另一篇博客里。
  2. 这些笔记是我在复习时总结的,适合有点基础的同学复习或者查漏补缺阅读。因为我没有将笔记记得十分详细,大多数是标记一些个人觉得重要的知识点,以及对部分难点的个人想法,建议使用ctrl+f 有针对性地查找、阅读。
  3. 笔记中的“18讲”指张宇高数18讲。

一、外部资料

这部分是一些我收集的网上的学习资料,当初看到的时候觉得可能会用到,所以一直保存着。不过后来发现我连教材都看不完(残念~)。

  1. 待定系数法:https://baijiahao.baidu.com/s?id=1611637003912949194&wfr=spider&for=pc
  2. 高数吧-极限知识总结:
    https://tieba.baidu.com/p/5906863580?pid=122340965240&cid=&red_tag=0525843440#122340965240

二、笔记正文

  1. 判断有界:若定义域内有界,除了间断点处,还要考虑趋于定义域边缘时的情况,见18讲例2.7;
  2. 利用定积分求极限:( i i i从0累加到 n n n)努力凑出 i / n i/n i/n(作为 x x x)和 1 / n 1/n 1/n(作为 d x dx dx),见18讲例2.9.(3);
  3. 负数移入根号内时注意符号,如果是求极限或者积分建议直接换元,见18讲例2.15;
    【注:当 x < 0 x<0 x0时,要使用代换 t = − x t=-x t=x化为常见的情况,或用 − x -x x同时除分子、分母,这样才不会出现正负上的错误。】
  4. l n t lnt lnt 1 / t 1/t 1/t在同个式中使用洛必达时,注意 l n t lnt lnt在分子, 1 / t 1/t 1/t在分母,见18讲例2.17;
  5. 使用等价无穷小代换的条件:分子分母均为等价无穷小;
  6. 1 ∞ 1^{∞} 1型: l i m u v = e l i m [ ( u − 1 ) v ] lim{u^v} = e^{lim{[ (u-1)v ]}} limuv=elim[(u1)v]
  7. 利用泰勒公式确定式子中参数的值:题中给出的高阶无穷小是第几项就泰勒展开到第几项,比如给出 o ( x 3 ) o(x^{3}) o(x3),就展开 e x = 1 + A x + B x 2 + C x 3 + o ( x 3 ) e^x = 1+Ax+Bx^2+Cx^3+o(x^3) ex=1+Ax+Bx2+Cx3+o(x3),讲18讲例2.33;
  8. 无穷小量的0次方等于1,见18讲例2.8;
  9. 高数18讲第2讲习题摘抄:2.1、2.8;
  10. 计算极限时,可以使用无穷小相加的公式,见闭关修炼1.1.7;
  11. 计算抽象型函数极限时注意放缩,见闭关修炼例1.1.30;
  12. 闭关修炼第1讲习题摘抄:1.1.30、1.1.33、1.1.41、1.1.44 ~ 1.1.49、1.1.53;
  13. 脱帽 & 戴帽;
  14. 多项相乘时,把点代入,看看哪一项的值跟其他项不同;
  15. 方程难解时考虑转换成对数或者其他形式进行求解。
  16. 微分的线性主部:研究的整体求导才是A,见闭关修炼例1.2.15;
    函数在点 x 0 x_0 x0可微,记$ dy = AΔx$ ,称为函数的微分,又称为函数的线性主部。
  17. 需要求出隐函数的解时,多尝试画图,见闭关修炼例1.2.19;
  18. 记住结论:设 f ( x ) f(x) f(x) x = a x=a x=a处连续, F ( x ) = f ( x ) ∣ x − a ∣ F(x)=f(x)|x-a| F(x)=f(x)xa,则 f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0 F ( x ) F(x) F(x) x = a x=a x=a处可导的充要条件,见闭关修炼例1.2.11;
  19. 十字相乘法:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数,最后要横写因式,见闭关修炼例1.2.31;
  20. 求极限时及时提出常数,见闭关修炼例1.2.22(2);
  21. 注意数形结合题,极值点是一阶导数正负改变,拐点是一阶导数单调性改变,见闭关修炼例1.2.55;
  22. 判别极值&拐点的第三充分条件,见18讲P83~P84;
  23. 求三点时注意不可导的点!
  24. 就算函数在定义域上单调递增,求范围时也应该求上限,即求x趋于正无穷的极限;
  25. 求开区间上的最值时,要求函数趋于端点的极限;
  26. 高数18讲第3讲习题摘抄:例3.8;
  27. 去掉根号跟绝对值要注意符号,具体根据题意进行判断,有必要时需要画图,见闭关修炼1.2.67;
  28. 拐点是一个点,要写成 ( x , y ) (x,y) (x,y)的形式,见闭关修炼1.2.52;
  29. 同一方向上水平渐近线与斜渐近线不可并存;
  30. 若用某一条曲线在某点代替另一条曲线,则在该点处,两条曲线函数值相同、斜率相同、曲率相同,见闭关修炼1.2.64;
  31. 高数18讲第4讲习题摘抄:例4.1、例4.3*、例4.5* ~ 4.7*(两个未知数求解只需要两个方程);
  32. 带拉格朗日余项的一阶泰勒公式:这里的阶数不包括余项;
  33. 薄弱的知识点*:中值定理(难点)、微分不等式、积分等式&不等式、多元微分学-隐函数存在定理、多元微分学-隐函数求导(什么时候不能用公式法)、多元微分学-极值判别方法失效的处理方法、多元微分学-判断偏导数连续、二重积分计算、二重积分求导、常微分方程的应用(原理不难,多做题熟悉)、第一型曲线积分&第一型曲面积分;
  34. 需要背诵的公式:求导公式、基本积分公式、三角函数、曲率公式、高阶求导公式、泰勒公式、基本不等式、绝对值不等式、经典不等式(18讲第6讲)、有理函数积分的原则、定积分区间简化公式、弧长&扇形公式、数量积&向量积&混合积及其几何意义、线&面方程及其切向量、角度(线线、面面求得的都是cos,线面为sin)与距离的求法(点到直线)、梯度&方向导数&散度&旋度(平面上的旋度:格林公式)、一二型曲线曲面积分相关公式、曲线(切向量)&曲面(法向量)、傅里叶级数相关公式;
  35. 在这里插入图片描述
  36. 高数18讲第5讲习题摘抄:例5.3、例5.4、例5.8 ~ 5.9、例5.14 ~ 5.17*、例5.23(保号)、习题5.2、5.5、5.7;
  37. 任何实系数奇次方程至少有一个实根,见18讲P111;
  38. 高数18讲第6讲习题摘抄:例6.2、例6.6、例6.12、习题6.4;
  39. 定积分的几何意义,若为x轴下方的图形,注意得从a到b(即按顺序)才是负数。
    【18讲原文:若 f ( x ) < 0 f(x)<0 f(x)<0,曲边梯形就在x轴下方,定积分的绝对值仍等于曲边梯形的面积,但定积分的值是负的。】
  40. 闭关修炼第2讲习题摘抄:1.2.2、1.2.5、1.2.9*、1.2.16(2)、1.2.31*、1.2.23、1.2.33、1.2.36、1.2.53、1.2.57、1.2.64、1.2.67、1.2.70、1.2.74 ~ 1.2.74、1.2.77 ~ 1.2.79、1.2.81、1.2.85 ~ 1.2.88、1.2.90、1.2.93;
  41. 判断函数是否具有原函数:1)连续必有原函数;2)看间断点类型,除了振荡间断点,其他都没有原函数。
  42. 判断函数是否有定积分:1)连续必有定积分;2)有原函数,有界;
  43. 连续的偶函数 f ( x ) f(x) f(x)的原函数中仅有一个原函数为奇函数,当 ∫ 0 a f ( u ) d u = 0 ∫_0^a f(u)du = 0 0af(u)du=0,证明见18讲例7.6;
  44. 求定积分,根号中最高项为平方项时,注意配方法,见18讲例7.49;
  45. 换元时要注意上下限有无超出界限,但一般来说不用过分在意细节,见18讲例7.28;
  46. 原函数如果是奇函数,则反函数也是奇函数。原函数是非奇非偶函数,则反函数也是非奇非偶函数。原函数是偶函数的话,则没有反函数。
  47. 高数18讲第7讲习题摘抄:例7.15 ~ 例7.16、例7.20、例7.29、例7.41、例7.55、习题7.6、习题7.13、习题7.17、习题7.21;
  48. 复习表格积分法;
  49. 计算参数方程的定积分,考虑使用换元法,见闭关修炼1.3.98;
  50. y n = ( 1 / n ) ∗ s i n ( n x ) y_n = (1/n)*sin(nx) yn=(1/n)sin(nx)在0到2π上的弧长与n无关,是个定值,见1.3.121;
  51. 物理应用时注意位移距离;物体与水的密度相同,在水下不做功;
  52. 曲线 y = y 1 ( x ) > = 0 y=y1(x)>=0 y=y1(x)>=0 y = y 2 ( x ) > = 0 y=y2(x)>=0 y=y2(x)>=0 x = a , x = b ( a < b ) x=a,x=b(ax=ax=b(a<b)所围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的旋转体体积:公式里是 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)的平方减去 y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)的平方,不是和平方,见18讲P163;
  53. 高数18讲第8讲习题摘抄:例8.6(强行结合极限)、例8.8、例8.3(二次函数的两点式方程);
  54. 闭关修炼第3讲习题摘抄:1.3.2、1.3.5*、1.3.8、1.3.12、1.3.14 ~ 1.3.15*、1.3.18(熟记广义反常积分)、1.3.21*、1.3.23*、1.3.25*(倒代换)、1.3.33(熟记有理积分原则)、1.3.35、1.3.52(换元得出对称区间,利用几何性质求定积分)、1.3.55 ~ 1.3.56、1.3.64、1.3.65*(原函数关系) ~ 1.3.67、1.3.76 ~ 1.3.78、1.3.81、1.3.94 ~ 1.3.96(注意审题)、1.3.98 ~ 1.3.99、1.3.110(2)、1.3.112、1.3.118、1.3.120* ~ 1.3.122*、1.3.124*、1.3.125 ~ 1.3.127**、1.3.128、1.3.131**、1.3.137;
  55. 无论z对谁求导,也无论z已经求了几阶导,求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复合结构;见18讲P187;
  56. 若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的二阶偏导数 f x y ′ ′ ( x , y ) f''_{xy}(x,y) fxy(x,y) f y x ′ ′ ( x , y ) f''_{yx}(x,y) fyx(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)处都连续,则 f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = f y x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) f''_{xy}(x_0,y_0)=f''_{yx}(x_0,y_0) fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)
  57. 高数18讲第10讲习题摘抄:例10.3、例10.8*(偏微分方程)、例10.13、例10.14、例10.17(判别方法失效例子)、例10.18 ~ 例10.19、习题10.1、习题10.3*(验证极限不存在:使用 y = k x y=kx y=kx;若验证存在则不能这样使用;)、习题10.11 ~ 10.13;
  58. 泰勒级数&幂级数(暂且这样理解):泰勒展开是幂级数展开的有限版,幂级数是泰勒展开的无穷版;
  59. 闭关修炼第4讲习题摘抄:1.4.2、1.4.4*、1.4.5(D选项混淆了一元函数极限与一阶偏导连续的概念)、1.4.7、1.4.14(第2小问注意多层复合求导)、1.4.18 ~ 1.4.22**(多元泰勒公式)、1.4.26、1.4.30(偏增量定义,△x的高次方视为△x的高阶无穷小,不用在意)、1.4.32(微分方程不够熟练)、1.4.44**、1.4.35*;
  60. 轮换对称性:若把x与y对调后,区域D不变(或区域D关于 y = x y=x y=x对称),则 ∫ ∫ D f ( x , y ) d x d y = ∫ ∫ D f ( y , x ) d x d y ∫∫_{D} f(x,y)dxdy= ∫∫_{D} f(y,x) dxdy Df(x,y)dxdy=Df(y,x)dxdy,这就是轮换对称性;
  61. 二重积分:在极坐标下,几乎所有的计算都是先积r,后积θ;
  62. sgn函数的定义、根号 x 2 + a 2 x^2+a^2 x2+a2:见18讲例11.13;
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  63. 二重积分的中值定理:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在有界闭区域D上连续, σ 0 σ_0 σ0是D的面积,则在D内至少存在一点,使得
    在这里插入图片描述
  64. 高数18讲第11讲习题摘抄:P209注例1 ~ 注例2、例11.2*、例11.4*、例11.8、例11.11*** ~ 例11.18***、例11.21 ~ 例11.25*、习题11.8、习题11.10;
  65. 闭关修炼第5讲习题摘抄:1.5.5、1.5.11、1.5.14、1.5.15、1.5.18、1.5.20 ~ 1.5.21;
  66. 解微分方程要大胆展开,看到 d y / d x dy/dx dy/dx
  67. 解齐次型微分方程时要注意对数函数的定义域,在计算过程中,若出现 l n ( u ) ln(u) ln(u),且u不知正负,一律加绝对值,见18讲例12.6;
  68. 18讲P227注:分母不为0可能为导致丢解,但《考试大纲》只要求求出通解,并不要求求出全部解;
  69. ∫ [ 1 / ( 1 + s i n x ) ] d x ∫[1/(1+sinx)] dx [1/(1+sinx)]dx:利用平方差公式化简;
  70. 高数18讲第12讲习题摘抄:例12.1、例12.12 ~ 12.15、习题12.1、习题12.2(圆形区域化为其次方程再求导)、习题12.4;
  71. 闭关修炼第6讲习题摘抄:1.6.1*(结合微分定义)、1.6.5 ~ 1.6.6、1.6.11*、1.6.13、1.6.15、1.6.22(注意符号问题)、1.6.240;
  72. 点到空间直线距离:已知直线L与点M:(1)求出空间直线的方向向量s,找出一个直线上的具体点M0;(2)利用向量积定义求出 M M 0 MM_0 MM0与直线的夹角 s i n θ sinθ sinθ,M到L的距离即 M M 0 ∗ s i n θ MM_0*sinθ MM0sinθ
  73. 直线与平面的交点:利用参数方程;
  74. 直线L在面π上的投影:过L且与π垂直的平面、与π的交线就是L在π上的投影线 L 0 L_0 L0
  75. 曲线在坐标面上(比如yOz)的投影曲线:消去对应项(x)即可;
  76. 求曲线绕轴旋转所得的曲面方程:(1)写出轴的方向向量s,在轴上选一点 M 0 M_0 M0 [具体值],在纬圆(曲线)上选一点 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M_1(x_1,y_1,z_1) M1(x1,y1,z1) [不要取具体值]和点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)
    (2)利用关系: M 1 P ⊥ s , ∣ M 0 M 1 ∣ = ∣ M 0 P ∣ M_1P⊥s,|M_0M_1|=|M_0P| M1PsM0M1=M0P,构造方程,把 x 1 x_1 x1, y 1 y_1 y1, z 1 z_1 z1按照关系替换成对应的xyz;
  77. 将空间曲线化为参数式方程:(1)投影到适当的坐标平面,写出对应投影曲线的参数方程
    (2)将得到的参数方程回代到原方程中,得到另一个坐标的参数式写法;
  78. 高数18讲第16讲习题摘抄:例16.4、例16.6*、例16.11* ~ 16.13*、例16.16 ~ 16.17、例16.20*、例16.22、例16.25、习题16.4、习题16.7、习题16.11 ~ 16.13;
  79. 证明空间曲面是柱面:可以转换成证明该曲面任一点的法向量与一定直线垂直;
  80. 欲求母线平行于z轴的柱面方程,只需求出xOy平面上的准线方程即可,而此准线就是C在xOy平面上的投影曲线,见18讲习题16.4;
  81. 问函数在哪个方向取得最大的方向导数时,方向用角度表示;
  82. 求函数在空间某一点的最大变化率:即求梯度的模;
  83. 三重积分(实心)、一型面 & 二型面(空心)、一型线 & 二型线(通常由切面切而得到);
  84. 高数18讲第17讲习题摘抄:例17.7 ~ 例17.10(此部分的题目计算较复杂,可以适当通过积分的可加性进行拆分逐一解决)、例17.11 ~ 例17.15、习题17.11、习题17.16;
  85. 估计三重积分的值,联想到被积函数的最值问题;
  86. 三重积分:几何意义是体积,求法按照先一后二或先二后一;
  87. 第一型曲线积分:一投二代三计算,将被积函数的变量全部换成某一个,dxdy这些也要变;
  88. 第一型曲面积分:一投二代三计算,投影到某个平面形成二重积分,注意投影的平面不要出现重点;
  89. 重心 = 形心,当题干出现密度均匀时,三心(前面两者加上质心)相同;
  90. 第二型曲线积分:(1)直接计算,参数方程时投到t上,注意范围是从起点到终点;
    (2)格林公式:i:不封闭就补线;ii:存在奇点就挖去奇点,即圈出一条新的曲线,可以把分母设为挖去的奇点区域;
  91. 第二型曲面积分:(1)直接计算法,分别投影到三个平面,如dydz投影到yOz平面;(2)转换成同个平面,转换关系: d y d z / − Z x ′ = d z d x / − Z y ′ = d x d x / 1 dydz/-Z_x' = dzdx/-Z_y' = dxdx/1 dydz/Zx=dzdx/Zy=dxdx/1,具体见18讲P377;[转换坐标变量法并非常用的方法,视曲面方程而定,如果给定曲面为平面、旋转抛物面等简单情况,可以考虑,原话见18讲P379;](3)利用法向量转换成第一型曲面积分;以上转换注意符号正负;
  92. e t + e − t e^t + e^-t et+et
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  93. 高数18讲第18讲习题摘抄:例18.3(不能拆成x与y方向,直接投成x计算);例18.5 ~ 例18.6、例18.8(注意投影重点问题)、例18.11、习题18.3* ~ 习题18.4、习题18.7;
  94. 平面束:明确不是哪一个面就让那个面乘以λ,另一个面的系数为1;
  95. 最大变化率:
  96. 方向余弦角度的范围:0~π;
  97. 成反比: y = k ∗ ( 1 / x ) y=k*(1/x) y=k(1/x);
  98. 第二型曲线积分求原函数:利用格林公式两边相等构造出常微分方程,或者采用折线法化成定积分求解;
  99. z = s q r t ( x 2 + y 2 ) z=sqrt{(x^2+y^2)} z=sqrt(x2+y2):这个圆锥上任意一过顶点的直线和Z轴夹角相等,那就取 Y = 0 , Z 2 = X 2 , Z = X Y=0, Z^2=X^2,Z=X Y=0Z2=X2Z=X,则圆锥与Z轴45度;
  100. 闭关修炼第8讲习题摘抄:1.8.2、1.8.4、1.8.11、1.8.16、1.8.18、1.8.21、1.8.27、1.8.29 ~ 1.8.34、1.8.40**、1.8.45* ~ 1.8.47*(看到dV = 0.9S,先想办法写出V跟S的函数)、
    1.8.48(向量OP=(x,y),F⊥OP即相乘斜率为-1,故向量F=±(-y,x),又因为夹角和y正向为锐角,根据P(X,Y)知,x>0,y>0,-(-y,x)=(y,-x)在第四象限和y轴正向为钝角舍去,(-y,x)在第二象限满足提体题意,故F=-yi+xj)、
    1.8.50(看不清楚L是什么曲线,化成极坐标就看清楚了)、1.8.58 ~ 1.8.59(关于选点:在x>0,即给定范围内任取一点,最好取有一个坐标为0的点)、1.8.60* ~ 1.8.61*、1.8.64 ~ 1.8.66、1.8.67(锐正钝负)、1.8.68、1.8.70(注意球面积分法φ的范围)、1.8.74;
  101. 无穷级数敛散性判别:必要条件、充要条件、p级数、等比级数;(1)正项级数:比较审敛法、比较审敛法的极限形式、比值审敛法、根值审敛法;(2)交错级数:莱布尼茨判别法;(3)任意项级数:绝对收敛 & 相对收敛,绝对收敛必收敛;
  102. 判断级数审敛性的时候,先判断级数类型(正项级数还是其他);
  103. x > 0 x>0 x0时,有 x > l n ( 1 + x ) x>ln(1+x) xln(1+x),所以对于任意正整数n,显然也有 1 / n > l n ( 1 + 1 / n ) 1/n > ln(1+1/n) 1/nln(1+1/n)
  104. 正项级数审敛结论:(1)
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  105. 收敛级数的性质:(1)收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛,且其和不变;(2)逆否命题:若加括号后的新级数发散,则原级数必然发散;(3)若加括号后得到的新级数收敛,不能断言原级数一定收敛;(4)绝对收敛的级数具有可交换性;
  106. 三角公式: s i n ( α + n π ) = ( − 1 ) n ∗ s i n α sin(α+nπ) = (-1)^n * sinα sin(α+nπ)=(1)nsinα
  107. 正项级数只谈收敛和发散,当正项级数收敛时是没有绝对收敛和条件收敛之分的;
  108. 幂级数的收敛域:(1)具体型;(2)抽象型;见18讲P264;
  109. 幂级数求和函数的突破口:(1)当 ( a n + b ) c (an+b)^c (an+b)c 在分母上时,先导后积;(1)当$(an+b)^c $在分子上时,先积后导;
  110. 约定 x 0 = 1 x^0 = 1 x0=1
  111. 等比级数的和 = 首项/(1 - 公比),只要公比的绝对值<1;
  112. 高数18讲第13讲习题摘抄:例13.6 ~ 例13.8、例13.14、例13.16、例13.25*、习题13.1、习题13.5、习题13.12 ~ 13.13;
  113. 泰勒展开就是幂级数,幂级数就是泰勒,因为幂级数展开具有唯一性;
  114. 无穷级数:始终不要忘记在解题过程中标注收敛域;
  115. 闭关修炼第7讲习题摘抄:全部;
  116. 傅里叶级数:(1)狄利克雷收敛定理;(2)记住公式,求傅里叶系数,即 A 0 A_0 A0 a n a_n an b n b_n bn;(3)正弦级数与余弦级数;(4)延拓:将补充定义的手段叫做延拓;
  117. 高数18讲第14讲习题摘抄:例14.16;

三、题型整理:

极限:求极限(根据定义or常规方法、注意数列求极限)、判断函数有界&连续&可导&极值&最值、给定极限求参数or其他函数的极限、无穷小阶数比较、连续性与间断点、数列极限收敛的充要条件、证明极限存在、证明方程仅有一个实根、综合题总结(闭关修炼P14:导数、积分、中值定理、方程列、区间列、极限);

一元微分学:判断导数可导or可微、求导数or微分、求高阶导数、切线&法线&截距(可正可负)&单调性&极值&最值&凹凸性&曲率&渐近线、结合中值定理证明题、不等式问题、求方程的根or函数零点;

一元函数积分学:判断原函数奇偶性&周期性、积分比大小、定积分定义与极限联系、反常积分判敛&计算、定积分计算、变限积分求导与计算、与中值定理结合的积分等式与不等式问题、几何应用&物理应用;

二重积分:和式极限、积分比大小、计算二重积分(通常需要极直转换or变换积分次序)、二重积分的应用(面积、体积、质量、三心、转动惯量);

微分方程:解微分方程通解&特解、与应用结合构造微分方程求解;

四、背诵公式整理:

  1. 绝对值函数:18讲P7;
  2. 等价无穷小、因式分解:闭关修炼P4 ~ P5;
  3. 泰勒公式 & 泰勒级数(其实是同个东西):闭关修炼P20;
  4. 不等式:闭关修炼P12;
  5. 基本不等式:
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  6. 无穷小的运算:18讲P29;
  7. 1 ∞ 1^∞ 1公式: l i m ( u v ) = e l i m [ ( u − 1 ) v ] lim(u^v) = e^{lim[ (u-1)v ]} lim(uv)=elim[(u1)v],18讲P43;
  8. 取整函数的夹逼不等式:18讲P45;
  9. 基本求导公式:闭关修炼P18;
  10. 泰勒求高阶导数:闭关修炼P21例题;
  11. 高阶导数重要公式:18讲P64;
  12. 渐近线:闭关修炼P15;
  13. 判断根的个数:闭关修炼P32;
  14. 导数祖孙三代关系:18讲P67;
  15. 一元积分学:周期函数公式:闭关修炼P38;
  16. 定积分定义:基本形&放缩形&变量形:闭关修炼P40;
  17. 定积分重要公式总结(区间简化公式):闭关修炼P48;
  18. 原函数(不定积分)存在定理:18讲P123;
  19. 积分等式与积分不等式;
  20. 多元函数微分学可微连续关系图:闭关修炼P68;
  21. 多元函数泰勒公式&极值:闭关修炼P69;
  22. 判断可微:18讲P186;
  23. 二重积分和式极限:闭关修炼P72;
  24. 二重积分各种对称:注意关于原点对称与关于y=x对称,闭关修炼P73;
  25. 二重积分换元法:闭关修炼P80;
  26. 二重积分定x,y的上、下限时,必须保证下限小、上限大,这是由其定义规定的;而累次积分并无此要求,18讲P215;
  27. 高阶常系数微分方程通解&特解公式:18讲P230;
  28. 韦达定理;
  29. 用换元法求解微分方程:闭关修炼P86,没有给出方法,见例题;
  30. 改变级数任意有限项,不会改变该级数的敛散性;
  31. 收敛级数的性质:18讲P248;
  32. 幂级数&幂级数相等&幂级数的四则运算性质:18讲P251;
  33. 几何级数:18讲P254;
  34. 求和函数突破口:18讲P266;
  35. 比较判别法的4个尺度:闭关修炼P92;
  36. 判敛常用结论:闭关修炼P94;
  37. 抽象型判敛:闭关修炼P97;
  38. 狄利克雷&傅里叶的公式:闭关修炼P100;
  39. 重要的距离公式:18讲P323;
  40. 旋转曲面:18讲P325;
  41. 直线在面的投影:18讲P332;
  42. 方向导数&梯度&散度&旋度:闭关修炼P109;
  43. 球面坐标法:18讲P347;
  44. 椭圆面积计算公式:18讲P357;
  45. 两类曲面积分的关系与转换坐标变量法:18讲P377;
  46. 高斯公式&斯托克斯公式;

四、写在最后

以上就是我在复习高数过程中的心得啦~看到这里不容易,希望上面的东西能对您有所启发,最后祝大家考研顺利!

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