a与c互质且b与c互质，则必然ab与c互质

前言：仅个人小记。质数是数的指纹，是数的钥匙，对一个数质因数分解就是在探求这个数的指纹。公约数则是指共同的钥匙。

a与c互质记为$a\perp c$。

证明: 若$a\perp c$,$b\perp c$，则必有$ab\perp c$

因为$a\perp c$,$b\perp c$,所以gcd(a,c)=1,gcd(b,c)=1,此时证明$ab\perp c$，即要证明gcd(ab,c) = 1。
反证法： 如果ab 与 c不互质，则必然gcd(ab,c) = d > 1。
我们对d进行质因数分解得,$$d=p_1{p}_2...p_s$$
进而，$$gcd(ab,c)=d=p_1{p}_2...p_s$$
故，$p_i$必然是 ab 和 c 的一个公约数，即 ab % $p_i$ = 0，c% $p_i$ = 0，则又因为 $p_i$ 是质数，所以，$p_i$不可能是由 a, b 两个数字中的质因子组合而成的一个合数，所以 $p_i$ 必然来自 a 或者 b，即必然有 a%$p_i$ = 0 或者 b %$p_i$ = 0，即 $p_i$ 是 a , c 的一个公约数或者 $p_i$ 是 b , c 的一个公约数，而这与 $a\perp c$, $b\perp c$ 这两个前提条件矛盾，故而假设不成立，故而必然有$ab\perp c$，证毕。