Burst Balloons 戳气球

有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时，你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。 这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

说明:

• 你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
• 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

示例:

输入: [3,1,5,8]
输出: 167 
解释: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
     coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

思路：用动态规划做，这里举例子说明，加入对于数组 [3,1,5,8]，应该首先推出长度为1，长度为2，长度为3。。。即：

[3]->[1]->[5]->[8]->[3,1]->[1,5]->[5,8]->[3,1,5]->[1,5,8]->[3,1,5,8]，定义二维地推数组dp[i][j]，dp[i][j]的意义为从下标为i到下标为j的最长的值，且地推公式为：

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k-1]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]+dp[k+1][j]);

如图所示：对于范围[i~j]而言，更新规则表示的是最后戳破第k个气球的情况，所以c[i][k-1]是确定的值，c[k+1][j]是确定的值，而戳破了第k个元素得到的奖励为：nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]。所以最终的递归公式为：

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k-1]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]+dp[k+1][j]);

参考代码：

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector& nums) {
        int n=nums.size();
        nums.insert(nums.begin(),1);
        nums.push_back(1);
        vector> dp(n+2,vector(n+2,0));
        for(int len=1;len<=n;len++){
            for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
                int j=i+len-1;
                for(int k=i;k<=j;k++){
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k-1]+nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]+dp[k+1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[1][n];
    }
};