二叉树及其三种遍历
一.二叉树的常用性质
1.常用性质
<1>.在二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个节点 。（i>=1）
<2>.二叉树中如果深度为k(有k层),那么最多有2^k-1个节点。(k>=1）
<3>.若二叉树按照从上到下从左到右依次编号，则若某节点编号为k，则其左右子树根节点编号分别为2k和2k+1;
<4>.二叉树分类：满二叉树，完全二叉树
满二叉树：高度为h，由2^h-1个节点构成的二叉树称为满二叉树。
<5>.在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]+1是向下取整。满二叉树的深度为k=log2(n+1);
2.例题 （求解二叉树的循环递归规律法）
例题：uva679 小球下落
题意：有一颗满二叉树，每个节点是一个开关，初始全是关闭的，小球从顶点落下，小球每次经过开关就会把它的状态置反，这个开关为关时，小球左跑，为开时右跑。现在问第k个球下落到d层时的开关编号。输入深度d和小球个数k。d<20，k<524288
思路分析：首先该题最先想到的是模拟，开一个数组表示开关，下标表示编号，根据k的子树为2k和2k+1来改变数组，判断进行。但是该思路不但要开2^20这么大的数组而且循环最大时有524288*2^20次，绝对超时！
因此改变思路，寻找题目规律：
<1>.首先对于每一层，第奇数个落入该层的球都是往左走的，第偶数个落入该层的球都是往右走的。
<2>.因为小球都是按照编号依次下落的，对于左枝（也就是奇数球)，每个I号小球落入该层都是第(I+1)/2个小球。而偶数是往右走的I/2个小球！
<3>.因此每一层循环递归，来判断i，循环d层，即可找出最后叶子！省去大数组和大时间
代码：
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
int n;
while(cin>>n)
{
if(n==-1)break;
int D,I;
while(n--)
{
cin>>D>>I;//D层I个小球
int k=1;
for(int i=0; i 二叉树的实现方式
1.第一类数组实现
用数组root[]存储结点值，在这种实现当中，对于编号为k的节点，其左子节点的编号为2*k，右子节点的编号为2*k + 1，另外确定根节点的编号为1.毫无疑问，这种实现极易产生巨大的空间浪费，比如对于一个只有一条链的树，假设该树含有31个节点，存储这31个节点却需要开一个2^30的数组，因此此方法较少使用。（此处的2^30是指数值，由2k计算出来的数值过大）
2.结构体+指针实现
用结构体指针u来表示一个节点，其中u->v表示该节点的权值，u->left和u->right分别指向该节点的左右子节点，初始化全部为NULL，若需用到该节点，则申请空间，否则视为无子节点！就这样互相联系成一颗结构体指针二叉树！节省空间，但是容易出现指针悬挂或者未知的指针内存错误。
3..第二类数组实现
对于一棵有n个节点树，只需要开一个大小为n的数组，节点按照出现顺序依次编号，这么一来，每个节点的左右节点的编号就无法通过2*k，2*k+1的形式来直接确定了，这时就需要数组lch[maxn] , rch[maxn]；其中lch[u]表示u节点的左子节点的编号，因此通过u = lch[u]就可以访问到u节点的左子节点，rch[u]的含义同理。另外，用value[u]表示编号为u节点的权值，如此一来，申请新节点的newnode函数与初始化的newtree函数写法就变得不同了，具体见代码。（此处只需结点个数个数组即可，并不计算数值！）
4.例题：uva122 树的层次遍历
题意：给你一颗二叉树，按照从上到下从左到右的顺序输出每个节点的权值，若某个节点没有赋值或者输入超过一次，则输出no complete.
输入：(11,LL) (7,LLL) (8,R)
(5,) (4,L) (13,RL) (2,LLR) (1,RRR) (4,RR) ()
(3,L) (4,R) ()
输出：5 4 8 11 13 4 7 2 1
not complete
<1>.结构体指针实现法
第一步解决输入问题建树，然后递归遍历树模拟判断即可！
代码：
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=266;
char s[maxn];//输入
bool failed;
struct Node//节点
{
bool have_value;//该点是否被赋值过
int v;//该点权值
Node*left,*right;//左右子节点
Node():have_value(false),left(NULL),right(NULL){}//初始化函数
};
Node*root;//树根！！
Node* newnode()//分配内存
{
return new Node();//分配同时初始化
}
void addnode(int v,char *a)//建树
{
int len=strlen(a);
Node *u=root;
for(int i=0;ileft==NULL)u->left=newnode();//若左节点没有分配内存，没有开辟过，则申请内存，因为经过该节点了，该节点必须赋值！
u=u->left;//更新路径
}
else if(a[i]=='R')//右
{
if(u->right==NULL)u->right=newnode();//同上
u=u->right;
}
}
if(u->have_value)failed=true;//如果该节点已经被赋值过了，则非法输入，报错
u->v=v;//更新该节点
u->have_value=true;//标记赋值
}
bool read_in()//输入
{
root=newnode();//给树根申请内存
failed=false;//标记
for(;;)
{
if(scanf("%s",s)!=1)return false;//输入c+z了结束
if(strcmp(s,"()")==0)break;//读到()表示该组数据正常结束
int v;
sscanf(&s[1],"%d",&v);//sscanf读取权值并赋给v
addnode(v,strchr(s,',')+1);//读取路径，并且建树，最好不要在此处判断failed因为还没有完整输入数据
}
return true;
}
bool bfs(vector&ans)//遍历树，并保存权值
{
queueq;//队列
ans.clear();
q.push(root);
while(!q.empty())
{
Node*u=q.front();
q.pop();
if(!u->have_value)return false;//若该节点没有赋值，说明出现了越节点赋值现象，报错
ans.push_back(u->v);//存入节点权值，按照从上到下从左到右
if(u->left!=NULL)q.push(u->left);//左
if(u->right!=NULL)q.push(u->right);//右--->循环递归！！借助queue
}
return true;
}
int main()
{
while(1)
{
if(!read_in())//输入数据并且建树完成
break;
vector ans;//ans用来存储权值，最后输出
if(!failed&&bfs(ans))//均无错误，则可输出
{
int l=ans.size();
for(int j=0;j
<2>第二类数组实现
核心代码：
void newtree() //初始化一颗新树，由于静态实现无法回收内存，因此顺便充当析构函数
{
lch[root] = rch[root] = 0;
have_value[root] = 0;
cnt = root;
}
int newnode() //建立新节点的函数，其中0相当于结构体中的空指针
{
int u = ++cnt;
lch[u] = rch[u] = 0;
have_value[u] = 0;
return u;
}
void addnode(int v , char * s) //建立新节点的过程
{
int n = strlen(s);
int u = root;
for(int i = 0; i具体代码： 数组实现二叉树
三.二叉树的三种遍历方式
1.先序遍历：按照根节点->左子树->右子树的顺序访问二叉树
先序遍历：（1）访问根节点；（2）采用先序递归遍历左子树；（3）采用先序递归遍历右子树；
(注：每个节点的分支都遵循上述的访问顺序，体现“递归调用”)
先序遍历结果：A BDFE CGHI
思维过程：（1）先访问根节点A，
（2）A分为左右两个子树，因为是递归调用，所以左子树也遵循“先根节点-再左-再右”的顺序，所以访问B节点，
（3）然后访问D节点，
（4）访问F节点的时候有分支，同样遵循“先根节点-再左--再右”的顺序,
(5)访问E节点，此时左边的大的子树已经访问完毕，
(6)然后遵循最后访问右子树的顺序，访问右边大的子树，右边大子树同样先访问根节点C,
(7)访问左子树G,
(8)因为G的左子树没有，所以接下俩访问G的右子树H,
(9)最后访问C的右子树I
2.中序遍历：按照左子树->根节点->右子树的顺序访问
中序遍历：（1）采用中序遍历左子树；（2）访问根节点；（3）采用中序遍历右子树
中序遍历结果：DBEF A GHCI
3.后序遍历：按照左子树->右子树-->根节点的顺序访问
后序遍历：（1）采用后序递归遍历左子树；（2）采用后序递归遍历右子树；（3）访问根节点；
后序遍历的结果：DEFB HGIC A
小结：三种方法遍历过程中经过节点的路线一样；只是访问各个节点的时机不同，递归算法主要使用堆栈来实现。
4.例题1：uva548 树
（1）题意：输入一个二叉树的中序和后序，输出一个叶子节点，使得该叶子节点到根的数值总和最小。
Sample Input
3 2 1 4 5 7 6
3 1 2 5 6 7 4
7 8 11 3 5 16 12 18
8 3 11 7 16 18 12 5
255
255
Sample Output
1
3
255
（2）思路：
首先，我们先明确一个知识点，就是你知道了一棵树的中序和后序遍历，求他的前序遍历，我们应该怎么来做？
第一步：最初的时候，我们的后序遍历的最后一个数字就是我们的一个子树的根节点
第二步：找到我们的根结点后，跟据我们中序遍历的性质，我们的树就会被自然地分成了左右两个部分。
第三步：统计出来左右两个子树的大小和长度，这样就能继续重复上面的步骤
通过中序和后序来建树，然后递归找到所有节点到根节点的路径和，不断更新，最后输出即可！
（3）代码：
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=10000+10;
int lch[maxn],rch[maxn],in_order[maxn],post_roder[maxn];
int n;
int read_list(int* a)
{
// memset(lch,0,sizeof(lch));
// memset(rch,0,sizeof(rch));
// memset(in_order,0,sizeof(in_order));
// memset(post_roder,0,sizeof(post_roder));
string line;
if(!getline(cin,line))return false;//因为题目说一行数据，没有结束标志，所以以回车为结束用字符串读入！
stringstream ss(line);
n=0;
int x;
while(ss>>x)a[n++]=x;//存入数组
return n>0;
}
int build(int L1,int R1,int L2,int R2)//建树各树的： 中序-后序
{
if(L1>R1)return 0;//空树
int root=post_roder[R2];//树根是后序的最后一个字符
int p=L1;
while(in_order[p]!=root)p++;//在中序里找到左子树结点个数
int cnt=p-L1;//左子树个数
lch[root]=build(L1,p-1,L2,L2+cnt-1);//以root为根的左子树建树l1-p-1是中序的左边也就是左子树的中序，l2-l2+cnt-1是左子树的后序，看上面图片就可以知道，下面同，这样不断递归找到各个节点！
rch[root]=build(p+1,R1,L2+cnt,R2-1);//右子树建树
return root;
}
int best,best_sum;//最优解
void dfs(int u,int sum)//找最优解
{
sum+=u;
if(!lch[u]&&!rch[u])//没有左右子树了说明已经到达最低端叶子，该路径完成，判断是否最优解
{
if(sum
5.例题2：uva839 天平 （二叉树的递归输入）
（1）题意：根据干杠平衡原理，判断题目所给出的数据组成的天平能否平衡。注意，此天平可能包含子天平。输入时，如果w为0，则表示包含子天平，子天平按照先左后右的方法输入，子天平只需要判断w1*d1==w2*d2是否正确即可。那么父天平又如何判断呢？ 公式一样，不同的是，父天平的两边的重量是子天平砝码总和。
Sample Input
1
0 2 0 4
0 3 0 1
1 1 1 1
2 4 4 2
1 6 3 2
Sample Output
YES
注意：该题在于怎么输入，题目的输入是按照构建天平进行的，什么时候天平构建完什么时候一组输入结束，所以这就要求一边输入一边建树，递归输入!!
代码：
#include
using namespace std;
bool solve(int &w)
{
int w1,d1,w2,d2;
cin>>w1>>d1>>w2>>d2;
bool b1=true,b2=true;
if(!w1)b1=solve(w1);//如果w1=0,则说明w1有子树，同时把w1带入递归求出w1也就是子树总重量
if(!w2)b2=solve(w2);//同上
w=w1+w2;//求总重量，其实如果只考虑最上层的天平，这步似乎没什么意义；但其实它的意义在于，在当前是递归到一个子天平的情况时，就要重新输入子天平所在处的左右天平，如果有了这句代码，参数 W1 或者 W2,最终就能变为子天平上的两个左右天平的总重量。如此,等到判断 D1 * W1 == D2 * W2时，W1 和 W2就都不会是0了，而是该子天平下所有子天平的总重量(如果有的话，没有子天平，就还是它本身的质量，总之不会是0，而是它自己或是自己所有子天平的重量
return b1&&b2&&(w1*d1==w2*d2);//要想平衡，每一个天平都要平衡！
}
int main()
{
int T,W;
cin>>T;//组数
while(T--)
{
if(solve(W))//输入同时判断
cout<<"YES"<
6.建树技巧
（1）如果题目给出了每一个节点的位置描述，则每个节点递归赋值即可，类似于例题二：
void addnode(int v,char *a)//建树
{
int len=strlen(a);
Node *u=root;
for(int i=0;ileft==NULL)u->left=newnode();//若左节点没有分配内存，没有开辟过，则申请内存，因为经过该节点了，该节点必须赋值！
u=u->left;//更新路径
}
else if(a[i]=='R')//右
{
if(u->right==NULL)u->right=newnode();//同上
u=u->right;
}
}
} （2）但是如果题目给出的是整棵树的路径顺序，如整棵树的先序，后序等等，这时候就需要整棵树按照给予的字符串递归建树，类似uva297四分树的指针结构体建树思路：
Node* createNode(char* s) { //递归建树
if (s[n]=='\0') return NULL;
Node* pNode=new Node;
if (s[n]=='p') {
pNode->type=0;
n++;
pNode->fch=createNode(s);
pNode->sch=createNode(s);
pNode->tch=createNode(s);
pNode->lch=createNode(s);
}
else if (s[n]=='f') {
pNode->type=1;
n++;
}
else {
pNode->type=2;
n++;
}
return pNode;
} 注意全局变量或者引用的使用来改变n的值最为关键！！
（3）练习：
<1>已知二叉树的一个按先序遍历输入的字符序列，如abc,,de,g,,f,,, (其中,表示空结点)。请建立二叉树并按中序和后序的方式遍历该二叉树。
注：若题目给出空节点，则只需一个先序字符串就可以建树，然后递归求得中序后序，若求层次遍历，则要用队列！若不给出空节点，则只能用两个序列字符串才能建树！
代码：
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
struct Node
{
char ch;
Node *lefted,*righted;
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
};
Node *newnode()
{
return new Node();
};
Node *Root;
Node *build(const char *s,int& p)
{
char sign=s[p++];
if(sign==',')
return NULL;
else
{
Node *root;
root=newnode();
root->ch=sign;
root->lefted=build(s,p);
root->righted=build(s,p);
return root;
}
}
void solveZ(Node *tree)
{
if(tree)
{
solveZ(tree->lefted);
cout<ch;
solveZ(tree->righted);
}
}
void solveH(Node *tree)
{
if(tree)
{
solveH(tree->lefted);
solveH(tree->righted);
cout<ch;
}
}
int main()
{
char name[100];
while(scanf("%s",name)!=EOF)
{
int m=0;
Root=build(name,m);
solveZ(Root);
cout<
<2>输入二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列，输出该二叉树的后序遍历序列。
第一行输入二叉树的先序遍历序列；
第二行输入二叉树的中序遍历序列。
输出该二叉树的后序遍历序列。
ABDCEF
BDAECF
DBEFCA
代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
char pre_name[100];
char in_name[100];
struct Node
{
char ch;
Node *lefted,*righted;
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
};
Node *Root;
Node *build(int L1,int R1,int L2,int R2)//前序找根，中序分割建树
{
if(L2>R2)return NULL;
Node *root;
root=new Node();
root->ch=pre_name[L1];
int p=L2;
while(in_name[p]!=root->ch)p++;
int cnt=p-L2;
root->lefted=build(L1+1,L1+cnt,L2,p-1);
root->righted=build(L1+cnt+1,R1,p+1,R2);
return root;
}
void select_post(Node *tree)
{
if(tree)
{
select_post(tree->lefted);
select_post(tree->righted);
cout<ch;
}
}
int main()
{
scanf("%s%s",pre_name,in_name);
int n=strlen(pre_name);
Root=build(0,n-1,0,n-1);
select_post(Root);
cout<
<3>已知一个按先序输入的字符序列，如abd,,eg,,,cf,,,(其中,表示空结点)。请建立二叉树并求二叉树的层次遍历序列。
输入数据有多行，第一行是一个整数t (t<1000)，代表有t行测试数据。每行是一个长度小于50个字符的字符串。
输出二叉树的层次遍历序列。
2
abd,,eg,,,cf,,,
xnl,,i,,u,,
abcdefg
xnuli
代码：
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
char pre_name[100];//如果给出空节点的，则一个序列遍历就可建树，否则要两个序列！且层次遍历用队列，其他遍历用递归即可！
struct Node
{
char ch;
Node *lefted,*righted;
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
};
Node *Root;
Node *build(const char *s,int &p)
{
char sign=s[p++];
if(sign==',')
return NULL;
else
{
Node *root;
root=new Node();
root->ch=sign;
root->lefted=build(s,p);
root->righted=build(s,p);
return root;
}
}
void serch(vector&u)
{
queueque;
u.clear();
if(Root)//要考虑根节点为空的情况！！！！
{
que.push(Root);
}
while(!que.empty())//队列递归求层序遍历！！
{
Node *nodes=que.front();
que.pop();
u.push_back(nodes->ch);
if(nodes->lefted!=NULL)que.push(nodes->lefted);
if(nodes->righted!=NULL)que.push(nodes->righted);
}
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
getchar();
while(T--)
{
scanf("%s",pre_name);
int m=0;
Root=build(pre_name,m);
vectorans;
serch(ans);
for(int i=0; i
四.二叉树的层序遍历以及求宽度
1.二叉树的层序遍历
（1）什么是层序遍历？
就是按照二叉树的层次高低遍历，优先遍历第一层的所有节点，然后遍历第二层，以此类推。
层序遍历结果： F CE ADHG BM
（2）实现（非递归队列）
利用队列先入先出特点，放入顺序正好按照层序从上至下。
代码：c语言
void LevelorderTraversal( BinTree BT ){
int head = 0;
int last = 0;
if(BT==NULL)return;
BinTree NodeList[1000];
NodeList[last++] = BT;
while(headData);
if(node->Left)
NodeList[last++] = node->Left;
if(node->Right)
NodeList[last++] = node->Right;
}
} c++队列：
void LevelorderTraversal( BinTree BT ){//²ãÐò±ãÀû
queue que;
que.push(BT);
while(!que.empty()){
BinTree T = que.front();
que.pop();
printf(" %c",T->Data);
if(!T->Left)que.push(T->Left);
if(!T->Right)que.push(T->Right);
}
} 2.二叉树求宽度
（1）什么是二叉树的宽度？
二叉树的宽度是二叉树每一层中的最大节点个数。
（2）分析：
根据二叉树求层序遍历的特点，这里仍用队列实现
<1>法1：每个节点记录自己所在层数，用数组记录每个层数的节点数，取最值即可。
int getWidth(BTree T){
memset(sum,0,sizeof(sum));
queue que;
T->Rank = 1;
que.push(T);
int MaxWid = 0;
while(!que.empty()){
BTree t = que.front();
que.pop();
sum[t->Rank]++;
MaxWid = max(MaxWid,sum[t->Rank]);
if(t->lefted!=NULL){
t->lefted->Rank = t->Rank+1;
que.push(t->lefted);
}
if(t->righted!=NULL){
t->righted->Rank = t->Rank + 1;
que.push(t->righted);
}
}
return MaxWid;
} <2>法二：队列里面只存储当前层节点，队列长度就是当前层节点数目。
int GetWidth(BTree T){
queue que;
que.push(T);
int MaxWid = 0;
while(1){
int len = que.size();
MaxWid = max(MaxWid,len);
if(len==0)break;
while(len > 0){
BTree t = que.front();
que.pop();
len--;
if(t->lefted!=NULL)que.push(t->lefted);
if(t->righted!=NULL)que.push(t->righted);
}
}
return MaxWid;
}