容斥定理与抽屉原理

目录

【容斥定理】

【抽屉原理】


【容斥定理】

在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推,一直计算到所有集合相交的部分。

容斥定理与抽屉原理_第1张图片

【简单应用】

http://120.78.128.11/Problem.jsp?pid=2332

电灯泡

TimeLimit:1000MS  MemoryLimit:128MB

64-bit integer IO format:%lld

Problem Description

V_Dragon有n栈电灯泡,编号为1-n,每个灯泡都有一个开关。那么问题来了

  1. 所有灯泡初始时为不亮的

  2. V_Dragon分别进行三次操作

  3. 每次操作他都选一个质数x,将编号为x和x的整数倍的灯泡的开关都拨动一下(如果灯为亮,那么拨动以后灯为不亮,如果灯不亮,拨动以后变为亮)

求最后亮着的灯的数量

Input

输入T表示T组测试数据(1<=T<=100)

接下来T组测试数据

每组第一行一个n表示灯泡个数(1<=n<=10^9)

第二行三个数a,b,c表示V_Dragon每次选择的数(1<=a,b,c<=10^6)(a,b,c全为质数且a,b,c两两互不相等)

不懂格式的同学可以参考以下格式:

Output

数组最后亮着的灯的个数

SampleInput

1 30 2 3 5

SampleOutput

15

【题解】

题意就是求A∪B∪C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C的部分。

【代码】

#include
int main()
{
    int t,n;
    int a,b,c;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        int sum=n/a+n/b+n/c-2*(n/a/b+n/b/c+n/a/c)+4*(n/a/b/c);
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}

【抽屉原理】

桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是组合数学中一个重要的原理。

第一抽屉原理:

原理1: 把多于n+1个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

原理2 :把多于mn(m乘n)+1(n不为0)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体。

原理3 :把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。

第二抽屉原理:

把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。

【简单应用】

http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=417   (555这oj还有小心心的真可爱)

死神来了

时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB

难度:3

输入

有多组测试数据,不多于10000;
每组有两个数n,m;
以文件结束符EOF为结束标志。

输出

输出"YES"或"NO"。

样例输入

100 80
100 20

样例输出

YES
NO

描述

有一天,小王子在遨游世界时,遇到了一场自然灾害。一个人孤独的在一个岛上,没有吃的没有喝的。在他饥寒交迫将要死亡时,死神来了。由于这个死神在成神之前是一个数学家,所以他有一个习惯,会和即死之人玩一个数学游戏,来决定是否将其灵魂带走。游戏规则是死神给小王子两个整数n(100<=n<=1000000),m(2<=m<=n),在1~n个数中,随机取m个数,问在这m个数中是否一定存在一个数是另一个数的倍数,是则回答“YES",否则”NO"。如果小王子回答正确,将有再活下去的机会。但是他很后悔以前没有好好学习数学,小王子知道你数学学得不错,请你救他一命。

【代码】

#include
main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(m>n/2+(n&1))
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
}

 

 

 

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