三分钟搞懂一道算法题：杨辉三角的扩展问题

浅谈“杨辉三角”

杨辉三角应该是大家很早就接触到的一个数学知识，它不仅是高中数学的难题，更是刚接触“递归”的人必做的一道算法题。
它有很多有趣的性质：

1. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，即 C(n+1,i) = C(n,i) + C(n,i-1)
2. 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大
3. 第 n 行的数字有 n 项
4. 第 n 行的第 m 个数和第 n - m + 1 个数相等 ，为组合数性质之一
5. ( a + b )^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第 ( n + 1 ) 行中的每一项
6. 。。。

代码展示：

#include 
main()
{
    int i,j,n=0,a[17]={0,1},l,r;
   while(n<1 || n>16)   //这一段，说实话，我一直没想明白为啥，但必须有[无奈]
   {
       printf("请输入杨辉三角形的行数:");
       scanf("%d",&n);
    }
   for(i=1;i<=n;i++)
   {
       l=0;
       for(j=1;j<=i;j++)
       {
           r=a[j];
           a[j]=l+r; /*每个数是上面两数之和*/
           l=r;
           printf("%5d",a[j]); /*输出杨辉三角*/
        }
        printf("\n");
        }
}

这种解法非常简便（对计算机来说），只使用了一个一维数组和两个临时变量。

问题引入——杨辉三角的扩展

1. 题目来源于 LeetCode 上第 118 号问题：杨辉三角。题目难度为 Easy，目前通过率为 61.8% 。
题目描述
给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。
输入: 5
输出:
[
[1],
[1,1],
[1,2,1],
[1,3,3,1],
[1,4,6,4,1]
]

题目解析：
这道题目在各大高校的习题中经常出现。
对于本题而言，利用性质 1 ：每一行的首个和结尾一个数字都是 1，从第三行开始，中间的每个数字都是上一行的左右两个数字之和。
代码展示：

class Solution {
    public List> generate(int numRows) {

     List> result = new ArrayList<>();
     if (numRows < 1) return result;

    for (int i = 0; i < numRows; ++i) {
      //扩容
      List list = Arrays.asList(new Integer[i+1]);
      list.set(0, 1); list.set(i, 1);
      for (int j = 1; j < i; ++j) {
        //等于上一行的左右两个数字之和
        list.set(j, result.get(i-1).get(j-1) + result.get(i-1).get(j));
      }
      result.add(list);
     }
    return result;   

    }
}

2. 题目来源于 LeetCode 上第 119 号问题：杨辉三角II。题目难度为 Easy，目前通过率为 55.5% 。
题目描述
给定一个非负索引 k，其中 k ≤ 33，返回杨辉三角的第 k 行。
难度进阶：你可以优化你的算法到 O(k) 空间复杂度吗？
（要知道，O（n）复杂度最直观的方式是只有一层n循环）

这道题目的难点与思考点在于题目有额外限制条件，程序只能使用 O(k) 的额外空间，因此无法通过累加的方式将每一行都输出打印。
这里依旧使用杨辉三角的规律，很隐藏的规律：对于杨辉三角的同一行，第 ( i + 1) 项是第 i 项的( k - i ) /( i + 1 ) 倍。
比如：
第 k 索引行的第 0 项：1
第 k 索引行的第 1 项：1 * k
第 k 索引行的第 2 项：1 * k * ( k - 1) / 2
第 k 索引行的第 3 项：[1 * k * ( k - 1) / 2 ] * ( k - 2 ) / 3

代码实现：

class Solution {
  public List getRow(int rowIndex) {
        List res = new ArrayList<>(rowIndex + 1);
        long index = 1;
        for (int i = 0; i <= rowIndex; i++) {
            res.add((int) index);
            index = index * ( rowIndex - i ) / ( i + 1 );
        }
        return res; 
  }
}

好了，至此，本篇就结束了。。。