时间序列分析 - ARMA, ARIMA, SARIMA
【目标数据】
ARMA: 针对弱平稳/宽平稳时间序列分析
ARIMA: 针对非平稳非周期性时间序列分析
SARIMA: 针对非平稳周期性时间序列分析。
【自协方差与自相关系数】
时间序列在t时刻记作Xt，在s时刻记作Xs,那么这两个时刻对应的时间序列的自协方差的计算公式为：
![\gamma(t,s)=E[(Xt-\bar{Xt})(Xs-\bar{Xs})]](http://img.e-com-net.com/image/info8/98abefdab3384f878e1b9fc2887e2bcf.gif){kind=small}
假设时间间隔t-s=k, 并且假设时间序列的均值为常数u, 那么上述公式可以写成
![\gamma(k)=\gamma(t,s)=E[(Xt-\mu )(Xs-\mu)]](http://img.e-com-net.com/image/info8/bf087a1f59ea4b33951134106661bbd3.gif){kind=small}
自相关系数的表达式为：
如果方差恒定，上述公式可以写成：
【平稳性】
满足以下三个条件即为宽平稳：
1）均值为常数
2）自协方差仅与时间差相关，与具体时刻无关
3）自相关系数仅与时间差相关，与具体时刻无关。或者说方差为常数。
非平稳的时间序列可以通过差分使其变为平稳的时间序列。
【平稳性检验】
ADF检验（单位根检验):
单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，如果存在单位根就说明是非平稳时间序列。
python的statsmodels.tsa.stattools.adfuller提供了单位根检验方法。
【滞后算子表示法】
时间序列中，通常用L或者B表示之前的若干值，假设时间序列为：
那么对于t>1：
或者
或者
或者
以及
【ARMA】
Autoregressive–moving-average model 自回归移动平均
包含对过去值的p阶回归以及过去error误差的q阶移动平均。
如果用AR(p)来描述，公式可以写成：
其中是高斯白噪声。
用MA(q)来描述，公式为：
μ 是 的均值 (often assumed to equal 0), , ,... 是白噪声.
将AR与MA综合起来，可以表示为：
忽略常数项c，将X移至等号左侧，用滞后算子表示法：
简化表示：
或者
其中：
【ARIMA】
Autoregressive integrated moving average
对于非平稳并且非周期的时间序列，可以通过差分操作使之变为平稳时间序列，差分是指将当前时刻的值减去前一时刻的值，得到的时间序列还可以继续差分下去，比如总共进行了d次差分操作，那么叫做d阶差分，因此ARIMA在ARMA的基础上进行了d阶差分操作以后的公式为：
【SARIMA】
周期性时间序列，可以作为ARIMA的扩展，因此，首先需要去除周期性，去除的方式是在周期间隔上做一次ARIMA，此时可以得到一个非平稳非周期性的时间序列，然后在此基础之上再一次使用ARIMA进行分析。可以表示为：
ARIMA(p, d, q) × (P, D, Q)S ，其中各参数含义为：
- P: 周期性自回归阶数.
- D: 周期性差分阶数.
- Q: 周期性移动平均阶数.
- S: 周期时间间隔.
p,d,q的含义与上面的ARIMA里面含义相同。
举个例子：对于周期为12的非平稳时间序列，那么ARIMA(3,1,0) x (2,1,0)12的含义为：
D=1意味着当前时刻t的值与过去一个周期时间点t-12的1阶差分，
P=2意味着当前时刻t的值是过去两个周期时间点t-12以及t-24的回归。
处理以后得到的时间序列再通过ARIMA(3,1,0)进行分析。
参考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive%E2%80%93moving-average_model
https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_integrated_moving_average
https://en.wikipedia.org/wiki/Lag_operator
https://machinelearningmastery.com/sarima-for-time-series-forecasting-in-python/