平衡二叉树总结三：treap树（树堆）

  类似avl树的还有红黑树和伸展树，然而编程确实很复杂，我先总结treap树吧，比赛啥的也能用得上。从树堆这个名字不难看出treap这种数据结构应该同时具有二叉搜索树与二叉堆的某些性质，实际上树堆首先是一颗二叉搜索树，也就是说它满足  left < root < right;其次它还有一个优先级域（插入时随机给予的），该优先级域需满足left < root && right < root，也就是所谓的堆序性，由于优先级是随机给予的，这样得到的搜索树平均深度为log（n)(算法导论没看懂，证明不来QAQ），难点在于在插入与删除过程中维护这两个性质。

0.treap树一般结构

struct treap{
  treap* left;
  treap* right;
  int val,priority;//值域，优先级域。
  treap(int v,int p):val(v),priority(p),left(NULL),right(NULL){}
};
typedef treap* tree; 

1.插入

  插入过程中需要用到AVL旋转操作，我们知道旋转不改变二叉搜索树的性质（只改变深度），左单旋与右单旋可以分别把左右儿子提到根节点，我们可以通过该方法来维护堆序性。插入时先按照二叉搜索插入规则插入，然后在回溯过程中，检查子树优先级是否比根节点小，如果比根节点小，就把它旋转到根节点，这样一步步回溯到最后就保证了treap的堆序性。

 

//由于没有高度，所以旋转时不需要更新高度。
tree LL(tree t){
  tree t1 = t->left;
  t->left = t1->right;
  t1->right = t;
  return t1;
}

tree RR(tree t){
  tree t1 = t->right;
  t->right = t1->left;
  t1->left = t;
  return t1;
}

tree insert(tree t,int val){
  if(t==NULL){
    t = new treap(val,rand());//随机生成优先级。
    return t;
  }
  if(val > t->val){
    t->right = insert(t->right,val);//往右插
    //插入结束检查优先级是否正确。
    if(t->right->priority < t->priority){t = RR(t);}
  }
  else if(val < t->val){
    t->left = insert(t->left,val);
    if(t->left->priority < t->priority){t = LL(t);}
  }
  return t;
}

2.删除

 相对avl而言，treap树的删除代码简单多了，没有太多复杂的情形，找到待删除点之后：

  （0）该点没有儿子时，直接删掉它。

  （1)如果该点只有一个儿子，直接用该儿子代替它即可；

  （2）两个儿子时，把优先级较小的儿子旋转到该点，然后继续递归删除该点所在的子树（直到满足情况一）。

 

tree remove(tree t,int val){
  if(t==NULL)return t;
  if(val > t->val)t->right = remove(t->right,val);//走右边
  else if(val < t->val)t->left = remove(t->left,val);
  else{
    if(t->left && t->right){//有俩儿子
      //左儿子优先级小，把它旋转到根
      if(t->left->priority < t->right->priority){
        t = LL(t);
        t->right = remove(t->right,val);//递归删除
      }
      else{
        t = RR(t);
        t->left = remove(t->left,val);
      }
    }
    else{
      //如果左子树存在就直接返回它，否则返回右子树。
      tree v = t->left ? t->left : t->right;
      delete t;
      return v;
    }
  }
  return t;
}

3.总结

  总的来说treap树的编程相对与avl树而言是很简单的，性能平均效果也不差，大部分情形都能hold住，不过似乎主要用在比赛上，工程里应用多的还是红黑树这种绝对最坏性能达到log(n)的数据结构，不过作为随机化方法的典型，学习一下还是很有必要的。

4.贴一下整体的代码吧

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

struct treap{
  treap* left;
  treap* right;
  int val,priority;
  treap(int v,int p):val(v),priority(p),left(NULL),right(NULL){}
};
typedef treap* tree;
//由于没有高度，所以旋转时不需要更新高度。
tree LL(tree t){
  tree t1 = t->left;
  t->left = t1->right;
  t1->right = t;
  return t1;
}

tree RR(tree t){
  tree t1 = t->right;
  t->right = t1->left;
  t1->left = t;
  return t1;
}

tree insert(tree t,int val){
  if(t==NULL){
    t = new treap(val,rand());//随机生成优先级。
    return t;
  }
  if(val > t->val){
    t->right = insert(t->right,val);//往右插
    //插入结束检查优先级是否正确。
    if(t->right->priority < t->priority){t = RR(t);}
  }
  else if(val < t->val){
    t->left = insert(t->left,val);
    if(t->left->priority < t->priority){t = LL(t);}
  }
  return t;
}

tree remove(tree t,int val){
  if(t==NULL)return t;
  if(val > t->val)t->right = remove(t->right,val);//走右边
  else if(val < t->val)t->left = remove(t->left,val);
  else{
    if(t->left && t->right){//有俩儿子
      //左儿子优先级小，把它旋转到根
      if(t->left->priority < t->right->priority){
        t = LL(t);
        t->right = remove(t->right,val);//递归删除
      }
      else{
        t = RR(t);
        t->left = remove(t->left,val);
      }
    }
    else{
      //如果左子树存在就直接返回它，否则返回右子树。
      tree v = t->left ? t->left : t->right;
      delete t;
      return v;
    }
  }
  return t;
}

void travel(tree t){
  if(!t)return;
  if(t->left)travel(t->left);
  cout << t->val << " ";
  if(t->right)travel(t->right);
}
void level(tree t){
  if(!t)return;
  tree now,last=t;
  queue qu;
  qu.push(t);
  while(qu.size()){
    now = qu.front();qu.pop();
    if(now->left)qu.push(now->left);
    if(now->right)qu.push(now->right);
    cout << now->val << "(" << now->priority << ")" << " ";
    if(now == last && qu.size()){last = qu.back();cout << endl;}
  }
  cout << endl;
}

int main(){
  int a[10] = {1,8,3,0,9,5,6,2,4,7};
  tree t = NULL;
  int i;
  srand(time(0));
  for(i=0;i<10;i++){
    level(t);cout << "************************\n";
    t = insert(t,a[i]);
  }
  travel(t);cout << endl;
  level(t);
  t = remove(t,8);
  travel(t);cout << endl;
  level(t);
}