旅行商问题(TSP)的两种模型

TSP简介

一个商人从一点出发,经过所有点后返回原点。它需要满足:除起点和终点外,所有点当且仅当经过一次;起点与终点重合;所有点构成一个连通图。要求:得到这个商人经过所有点的最短路程。

TSP模型表示

设x[i][j]是一个0-1变量,其中1表示点i与点j之间有连边,0表示这两点之间无连边,值得注意的是:x[i][j]不一定等于x[j][i]。

设c[i][j]表示点i到点j的距离,同理,c[i][j]不一定等于c[j][i]。

目标函数:

min sum(x[i][j]*c[i][j]) i,j分别遍历(博客中插入公式不会,暂且这么表示,该公式是一个二维for循环,分别遍历i和j)

约束条件:

根据题目描述:所有点经过且只经过一次,并且构成一个环,因此任意一点的出度等于入度等于1,即需要满足如下两个约束:

1.sum(x[i][j])=1,遍历i (该公式表示点j的入度等于1)

2.sum(x[i][j])=1,遍历j (该公式表示点i的出度等于1)

若只有以上两个约束条件,则形成的解中可能会产生若干个独立的环,即所有点不能构成一个连通块。为打破子环的存在,还需加入一个约束条件。基于不同的角度,有两种不同的约束方式,从而产生两种不同的TSP数学模型,鉴于网上对两种模型的比较较少,且介绍较为简单,同时由于前面几个目标函数和约束1 2 的意义明确,因此本博文主要想介绍这两种不同的约束的理由及各自优缺点。

A:sum(x[i][j])<=|S|-1;其中S表示任意一个点的子集(S集合中点的个数大于等于2个,小于CityNum个),例如:TSP中有3个点 a b c,则S表示{a,b},{a,c},{b,c}中的任意一个。上式中i和j在S集合中遍历。解释:若不满足该约束,则存在一个TSP的点的子集,使得sum(x[i][j])>=|S|,我们可以很快知道sum(x[i][j]),遍历i和j表示对应子图中连边数量(因为x[i][j]=1表示从i到j有连边),那么当该子图构成一个环时,边的个数等于点的个数。因此,添加该约束能够保证任意子图不存在子环,从而保证所有点形成一个连通块。具体cplex的代码可以参考我的另一篇博文:https://blog.csdn.net/u011561033/article/details/93380842

B:u[i]-u[j]+(CityNum-1)*x[i][j]<=CityNum-2; i,j 从2个点开始遍历。该公式新定义了一个变量,不用任何初始化操作。需要注意的是这边的i和j是从2个点开始遍历的,即需要把起点去掉。该公式也能满足不存在环。因为若x[i][j]=1,表示i到j有连边,那么原约束就变成:u[i]-u[j]<=-1 即 u[j]>=u[i]+1它保证u[t]从起点开始随着商人的行走一直递增,若存在子环,例如a-b-c-a,则会出现u[a]

综上所述,两种TSP模型各有优缺点,其中A模型易于理解,但随着数据规模增大会导致S的规模呈指数级上升。B模型理解稍微要难于A模型,但其约束表示方便,便于计算。综合分析上述两个模型,我认为还是B模型更好,更能在程序中进行表示。具体cplex的代码可以参考我的另一篇博文:https://blog.csdn.net/u011561033/article/details/93408062

据说当点的规模超过100时,上述cplex代码中的两种方法都将不再适用,需要加入column generate的技巧,等我尝试后再更新。

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